При решении задач по геометрии (математика ЕГЭ) надо знать следующие разделы геометрии - планиметрию и стереометрию. Сегодня мы с вами рассмотрим одну из задач планиметрии (они встречаются каждый год на ЕГЭ).
Найти площадь ромба ABCD, если известно, что CD = 5 см, а BD = 8 см.
Решение:
Так как ABCD - ромб, то у него все стороны равны (это по определению ромба). То есть, AB = BC = CD = AD. Диагональ ромба BD делит ромб на два равных треугольника ABD и BCD, а это значит, что площадь ромба ABCD равна сумме площадей треугольников ABD и BCD - 2 умноженное на площадь треугольника ABD.
Рассмотрим треугольник ABD, так как AB = AD, то он равнобедренный. Проведём из вершины A треугольника высоту AH. Такая высота, проведённая в равнобедренном треугольнике является и биссектрисой и медианой. А медиана делит сторону на два равных частей, то есть BH = HD = 4 см.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AHD имеем AD в квадрате равна сумме квадратов AH и HD.
5 в квадрате равна AH в квадрате плюс 4 в квадрате.
25 = AH в квадрате + 16, AH в квадрате = 25 - 16, AH в квадрате = 9, AH равен корень квадратный из числа 9. AH = 3 (см).
Находим площадь треугольника ABD. Она равна половине произведения высоты треугольника на основание (AH * BD /2). Площадь треугольника ABD =3 * 8 / 2 = 12 (см в квадрате). Следовательно, площадь нашего ромба = 2*S треугольника ABD = 2*12 = 24 (см в кв). Ответ: 24. (ответы надо писать в целых числах или в десятичной дроби - таковы были требования в 2019 году).