Авторы теории пинания болтов.
Ещё древние греки задавались вопросом – как работать очень мало, а иметь очень много? Ведь балдёжно бывает с пацанами после того, как закончили тяжёлый трудовой день, залиться винцом, купаясь в оливковом масле. А так хочется сделать всего одну сотую от всей работы, а остальное отложить на завтра. При этом неплохо ещё и быть уверенным, что мы действительно что-то делаем, а не занимаемся самообманом, разрази меня Зевс.
Русские не расходятся.
Для наглядности, перенесёмся теперь в Россию времён крепостного права и представим, что мы крестьянин, которому необходимо вспахать определённое количество полей. Но так как мы пажилой, старый и больной ублюдок, которого гнобит помещик, то силы покидают нас с каждым днём, и наша работоспособность падает с каждым днём следующим образом: в первый день мы можем вспахать одно поле, во второй – уже половину, в третий – треть и так далее. Наша задача – выяснить, сможем ли мы доказать барину, что мы не пинаем болты и гайки, а действительно рано или поздно закончим работу, сколько бы полей он нам не поручил.
Иными словами, мы хотим показать, что такая сумма
принимает, спустя какое-то время, любое огромное значение
На математическом языке эта задача звучит так:
Докажите, что гармонический ряд расходится
Каво? Какие ряды? Типа забор? И куда он вздумал от нас уйти? Давайте разбираться в этом заклинании и переводить его на земной язык
Рядом называется бесконечный упорядоченный набор из любых чисел, которые называются членами ряда (хотя более точное название – числовой ряд, но не суть)
Частичная n-сумма ряда – сумма первых его n членов.
Говорят, что ряд расходится, если, его частичные суммы могут быть сколь угодно большими. Иными словам, какое бы большое число F мы не взяли, всегда найдётся такое n, что n-сумма ряда будет больше F. И наоборот, если есть такое число P, что все частичные n-суммы могут быть очень близко к P, но никогда не превосходить его, то говорят, что ряд сходится. Число P при этом называется суммой ряда.
Например, ряд натуральных чисел – это 1,2,3,4… Его 1-сумма равна 1, 2-сумма 1+2=3, 3-сумма 1+2+3=6 и так далее. Понятно, что таким образом можно получить абсолютно любую сумму, которая больше любого придуманного нами числа. Поэтому натуральный ряд расходится (хотя это тоже спорное утверждение, которое мы обсудим в другой статье). А вот ряд из нулей 0,0,0,0… - это же тоже ряд! Его n-суммы равны нулю, и он сходится, как это неожиданно, к нулю.
Гармоническим называется ряд из чисел, обратных к натуральным.
Вроде разобрались с терминологией, теперь к сути. Доказывать расходимость ряда через определение – это причуды богатеев и дворян. Мы, как представители низшей ступени феодальной лестницы, хотим быстрее раскатать помещика аргументами и вернуться к своей пашне. Поэтому будем использовать так называемый признак сравнения.
Признак сравнения в наших широтах обозначается фразеологизмом, в котором упоминаются мужской половой орган и действие сравнения. Так же и ряды умеют меряться членами. Если у нас есть два ряда – Сергей и Анатолий, и начиная с какого-то номера все члены Сергея больше или равны, чем члены Анатолия, а Анатолий ещё и расходится, то и Серёга расходится. И наоборот, если Серёга держит себя в руках и сходится, то Анатолий берёт пример с коллеги и тоже сходится. Ну оно и понятно – складываем меньшие члены, получаем меньше чем конечное число, то есть конечное число. А складываем числа, большие чем те, которые в сумме дадут бесконечность, получим тоже бесконечность. Так что ряды – единственное место, где стоит думать членами (ряда, естественно).
Теперь нам хочется подобрать такой ряд, чтобы его члены были меньше гармонического, да так, чтобы он расходился. Заметим странную особенность:
Так давайте и посмотрим на такой ряд
В первой скобке получится 1/2, во второй тоже 1/2 (шок), в третьей - 1/2 (Ванга была потрясена), в четвёртой – НАЖМИ ДАЛЕЕ, ЧТОБЫ УЗНАТЬ! ВСЕГО 2 КАПЛИ …
Как мы видим, n-сумма ряда слева равна просто 1/2 + n/2. Не нужно быть тем самым студентом (тем студентом был Альберт Эйнштейн), чтобы понять, что этот ряд расходится - ведь мы складываем через время очень большие числа. Тогда что имеем по признаку сравнения?
Гармонический ряд расходится, получается.
И чё?
С умным лицом смотрим на барина, который тяпнул уже за нашей болтовнёй 2-3 рюмки отборной настойки, и плюём ему в лицо со словами “ЛОХ, СЛИТ)00)”, ведь из наших слов следует, что какое бы количество полей помещик не поручил нам вспахать, мы сможем это сделать методом, описанными в начале. Поэтому, получив тройную порцию розог от хозяина, идём скорее на поле и начинаем осуществлять наш план, пока нас не проиграли в карты.