Понятие множества в математике - одно из фундаментальных понятий. Без его хотя бы поверхностного изучения не стоит начинать и изучение более сложных разделов математики. Теорию множеств на доступном уровне преподают уже в средней школе. Предлагаю Вам их еще раз пройти вместе со мной.
Что такое множество?
Строго говоря, дать определение "множества" нельзя. С точки зрения науки логики такие определения в любом случае противоречивы. Подойдем с другой стороны и будем считать, что мы УЖЕ работаем с множеством произвольной природы, обозначим его X, которое состоит из элементов x (буквы не принципиальны).
В данном случае нам неинтересна природа множеств, нам важен только вопрос включения/не включения отдельного элемента в это множество, т.е. максимально абстрактное представление. Попытаться определить, что такое множество можно следующим образом. Пусть X - известное нам множество, тогда мы можем определить множество Y, состоящее из таких элементов x, принадлежащих X, которые удовлетворяют некоторому свойству.
Приведем простой пример. Я думаю не подвергается сомнению, что существуют натуральные числа: 1,2,3 и т.д., другими словами, имеется множество натуральных чисел (обозначают N). Выделим из него, например, четные числа, обозначим их N2, N4 и т.д.. Теперь мы можем утверждать, что множество четных чисел S (буква не принципиальна) состоит из чисел N2, N4 и т.д, удовлетворяющих свойству четности и принадлежащих N.
Таким образом, мы только что задали множество четных чисел, выделив его из множества натуральных чисел. В теории множеств говорят, что мы выделили подмножество (часть) S в множестве N. Обозначается вот так:
Знак включения между S и N строгий. Он означает, что множества N и S не равны. Действительно в нашем примере во множестве N есть еще и множество нечетных чисел. Нестрогий знак обозначается так:
Понятие пустого множества
На самом деле пустое множество - множество, не содержащее ни одного элемента - одно из самых важных понятий всей теории. Обозначается оно следующим образом:
Чем же примечательно пустое множество? Во-первых, это единственное множество которое является подмножествами любых множеств. Во-вторых, пустое множество является подмножеством себя, но не является своим элементом (вспомните определение). В-третьих, в топологии пустое множество одновременно является открытым и замкнутым (крючок на будущее, пока без пояснения).
Парочка небольших примеров на закрепление:
На этом закончим. В этой статье мы рассмотрели как определяется множество, что такое подмножество и пустое множество, каковы их свойства (но пока не все). Рассмотрели несколько примеров для понимания.
В следующем материале мы рассмотрим основные операции над множествами.
P.S. Отвечая на возможную критику из разряда: "зачем столько букв, написал бы, что есть множество, в нём есть элементы, пустое множество есть везде. Лучше бы сразу написал про операции, а не растягивал ... и т.д". С изучением математики выработалось четкое понимание, что математика - не социология и не биология (не в обиду), здесь необходимы предельно простые понятия в самом начале изучения. Предельно простые настолько, что бытовое представление о них настолько явно, что, казалось бы, не требует отдельного объяснения. Особенно Вы поймете о чём я говорю, когда, закончив введение в теорию множеств, мы перейдем к изучения метрических пространств (конкретно как будто бытового определения "расстояния"), чтобы наконец-то подобраться к цели этого цикла статей - изучению топологии. Вот вводная статья, для тех, кто еще совсем не знаком с этой замечательной наукой.
************************************************************************
Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.
СЛЕДУЮЩАЯ ЧАСТЬ
**************************************************************************
О чем я еще пишу:
Теорема неслучайности: неравенство Чебышева
Про факториал
Как запомнить синус и косинус основных углов?
Правда интересные числа, "мамой клянусь"
Экзотические тригонометрические формулы, которые не дают в школе