Кинематика: график зависимость скорости от времени

В данной статьи изложены мысли, которые возникали при решении задач с сайта "Решу ЕГЭ" в разделе - https://phys-ege.sdamgia.ru/test?theme=204. Рисунки взяты оттуда же.

1. Общий подход

Анализ и использование данного графика базируется на формуле перемещения тела S, м:

Формула 1

Как видно из формулы площадь под графиком равна перемещению тела. Например, тело с 1 по 2 секунду на графике, представленном на рис. 1 прошло S = V * t = 2м/с * (2с - 1с) = 2м/с *1с = 2м

Рис. 1. График зависимости скорости от времени

2. Чуть посложнее

Если мы захотим найти перемещение тела с начала движения t = 0c до 4-ой секунды движения тела согласно графику на рис. 2, то нам необходимо найти сумму площадей трех геометрических фигур: с 0с по 1с - треугольник, с 1с по 2с прямоугольник, со 2с по 4с - трапеция.

Рис. 2. Находим перемещение как сумму площадей геометрических фигур

S треугольника = (1/2) * длину высоты треугольника * длину сторону треугольника, к которой проведена высота =
=(1/2) * 2м/с * (1с - 0с) = 1/2 * 2м/с * 1с = 1м
S прямоугольника мы находили в начале статьи = 2м
S трапеции = (1/2) * сумму оснований трапеции * высоту трапеции =
=(1/2) * (2м/с + 6м/с) * (4с - 2с) = (1/2) * 8м/с * 2с = 8м
Итого S = 1м + 2м + 8м = 11м

3. А если скорость равна нулю?

Не стоит пугаться нулевых скоростей на каком-либо интервале времени. Например с 3с по 5с на графике, представленном на рис. 3 перемещение тела равно 0м, т. к. площадь фигуры с 3с по 5с равна 0.

Рис. 3. Нулевое перемещение

4. А если скорость ушла "в минус"?

Рис. 4. Отрицательная скорость

А вот отрицательная скорость может вызвать некоторые затруднения. Здесь надо очень внимательно читать задание и не перепутать очень похожие физические величины: путь и перемещение. Путь - величина скалярная и поэтому для ее нахождения с помощью графика на рис. 4 надо зеркально отобразить отрицательные участки скорости и сложить площади фигур (см. Рис. 5)

Рис. 5. Зеркальное отображение отрицательных участков

Перемещение - величина векторная и поэтому при определении этой величины необходимо учитывать знак площади. Например, если нужно найти перемещение тела с 0с по 10с (см. рис. 5), то нужно площадь треугольника с 0с по 4с сложить с площадью треугольника с 8с по 10с и из полученного результата вычесть площадь треугольника с 4с по 8с.

5. Когда можно и не считать!

Рис. 6. Анализ графиков

Иногда требуется визуальный анализ графиков. Например, необходимо определить какой автомобиль из 4-х с 0с до 15с проехал наибольшее расстояние?
Рассматривая площади геометрических фигур под графиками (см. рис. 6) видим, что площадь больше у графика (и машины) №3.

6. Переходим к ускорению

До сих пор мы на линейных графиках с координатами скорости и времени (см. рис. 7) видели скорость, время и перемещение (или путь).

Рис. 7. Ищем на графике ускорение

А тут ещё прячется ускорение. Давайте попробуем его найти. Вспоминаем формулу равноускоренного движения

Формула 2 . Формула равноускоренного движения

Рассматривая график на рис. 7 определим Vo при t = 0с => Vo = 2м/с.
А теперь возьмём на графике точку в момент времени t = 1c и определим по графику скорость в этот момент времени => V = 4м/с.
Подставляем найденные значения в формулу 2 =>
4м/с = 2м/с + a * 1c => а = (4м/с - 2м/с) / 1с = 2м/с2

Возвращаемся к графику (см. рис. 8)

Рис. 8. Находим уравнение графика

Теперь мы можем сказать, что на рис. 8 представлен график линейного уравнения V = Vo + a*t = 2 + 2*t. Эти знания расширяют область использования графика на рис. 8. Например мы можем сказать, что при
t = 10c скорость будет равна V = 2м/с + 2м/с2*10с = 22м/с

7. Ищем ускорение на произвольном прямолинейном участке графика

Нас могут попросить найти ускорение тела на произвольном прямолинейном участке графика. Например с 6с по 10с на графике, представленном на рис. 9.

Рис. 9. Находим ускорение на произвольном прямолинейном участке графика

Для этого получим формулу для ускорения, усложнив формулу 2 заменив t на (t - to):

Формула 3. Формула для определения ускорения

Возвращаемся к поиску ускорения:
а = (5м/с - (-5м/с))/(10с - 6с) = 10м/с / 4с = 2.5м/с2

8. Ищем координаты тела

Зная начальные координаты тела, начальную скорость, ускорение тела и время перемещения можем найти координаты тела в любой момент времен (формула 4)

Формула 4. Уравнение для координаты тела

9. Ищем скорость в пространстве

Рис. 10. Скорость в пространстве

Мы можем знать значение проекций скорости на оси: х, y и z. Нас могут попросить найти модуль скорости. Ищем по формуле 5:

Формула 5. Формула для модуля скорости

Для понимания формулы 5 можно представить модуль скорости диагональю параллелепипеда, а проекции скорости сторонами параллелепипеда (см. рис. 11)

рис. 11 Расшифровка формулы 4

Заключение

Пока, это все мысли, которые появлялись во время решения задач в разделе сайта "Решу ЕГЭ" по адресу https://phys-ege.sdamgia.ru/test?theme=204. Пишите в комментариях, если что-то напрашивается добавить.

Автор с благодарностью примет любые пожертвования на развитие канала "От сложного к простому" https://money.yandex.ru/to/4100170126360.