В школе скучно-запрещают делить на ноль, брать корень из отрицательного числа и всё такое. От того нам матеша и не нравится в школе, из-за её нудности и строгости. Но сегодня мы попробуем напрячь нашу фантазию и разобрать одну из нешкольных тем- бесконечности.
Бесконечность-то и значит, чему нет конца. Мы не аморалы, поэтому не будем шутить про ника вуйвича.
Но у бесконечностей есть своя иерархия. Тяжело это понять, как у того, у чего нет конца, есть то, что не имеет конца ещё больше. Как-то подебильному звучит, не правда ли? О зоопарке этих бесконечностей до сих пор идут споры(Континуум-гипотеза), но об этом рассказывать уже сложно. Так давайте теперь разберём самого мелкого из этого зоопарка, и почему остальные бесконечности больше его!
Натуральные числа, тип гомофобы?
Вообще математики работают не с самой бесконечностью, а с бесконечными множествами. Самое первое бесконечное мн-во, которое нам приходит в голову, это натуральные числа
Разберёмся пока с ними, а потом будем двигаться дальше...
Для лучшего понимания, представим, что наши натуральные числа-это отель с бесконечным числом номеров. Пусть наш отель забит полностью.
И в отель приходит новый посетитель. Как же его поселить, если все номера заняты? Как бы это странно не звучало, поселить мы его сможем. Как же мы будем поступать? Берём резидента из 1-го номера, переселяем его во 2-й, а резидента из 2-го номера в 3-й, ну, и дальше по цепочке. Так как кол-во номеров бесконечно, то всем достанется номер, при этом 1-ый номер станет свободным! куда мы и поселим нового чувачка. Что же это значит на математическом? А означает это , что сколько бы мы не прибавляли элементов к бесконечному мно-ву, кол-во элементов там не увеличится! То есть 1 плюс бесконечность равно бесконечность, попробуйте обмозговать этот факт
Массовая иммиграция!!!
Но наш отель открыт, а в соседней бурдуландии восстание, и к нам в отель уже приезжает бесконечное число иммигрантов. Как же нам их поселить? Поступим так: всех наших резидентов отеля переселим из их номера N в номер 2N. То есть житель номера 1, идёт в номер 2, житель номера 2 в номер 4, житель номера 3 в номер 6 и так далее... Так как номерам нет конца, то всем резидентам достанется по номеру.
При этом все номера с нечётным номеров-станут свободными. В них мы и поселим наш дружественный народ, так как нечётным номерам нет конца, поэтому всем гостям достанется по номеру! То есть бесконечность плюс бесконечность всё та же бесконечность!
Если мы к счётному множеству добавим счётное, то их объединение будет счётное мно-во
Что такое счётное мне-во, обсудим позже, пока можем думать, что это натуральные числа.
Оказывается, что даже если в бесконечном кол-во стран случится восстание, то все равно они все поместяться. То есть:
Счётное объединение счётных множеств будет счётное мне-во
Счётные множества и его Батя
Счётное мне-во- это то которое мы можем пронумеровать. То есть мы каждому его элементу мы сопоставим натуральное число! А том, что не все бесконечные мне-ва такие обсудим позже! То есть мы также можем смотреть на элементы, как на жителей отеля.
Например, целые числа- то есть те, как натуральные только вдобавок 0 и отрицательные(со знаком минус). О том почему мы их можем пронумеровать, рассказывает пример с иммигрантами и отелем. Сначала мы принимаем одного посетителя-это число "0", а потом и всех эммигрантов, они в роли отрицательных чисел(это не расизм).
Или к примеру, Рациональные числа. Это те, которые записываются ввиду дроби a/b.
То есть натуральных столько же, сколько и рациональных, хотя на первый взгляд это вообще не кажется правдой!
Но есть у этих чисел батя!
А теперь посмотрим на вещественные числа! Это, ну, вообще все которые могут только быть(не считая "мнимых", о которых мы пока не будем говорить). Вот их уже не пронумеровать никак, даже не пытайтесь!
Поэтому вещественные числа ещё называют несчётным мн-вом. Вот мы и нашли одну бесконечность, которая жестче другой бесконечности!
Дед или Батя?
О том, являются ли вещественные числа батей или дедом натуральных чисел, математики спорили долго время. Под дедом я подразумеваю, что между ними и натуральными есть ещё одна бесконечность, которая больше одного и меньше другого. Этот спор называется Континуум-гипотеза. Оказывается, есть они или нет, зависит от правил, по которым мы строим математику. Ладно, не буду пудрить вам мозги, если хотите прочитайте об этом сами. Но, в основном принято считать, что всё-таки батя!
Да, теперь вам будет о чём поболтать со своей лююбимой половинкой на романтическом ужине)