Давным-давно, это было в древней Греции, жил на свете Пифагор. Сейчас для всех нас он - дедушка Пифагор. Его окружение жило в тесном контакте между собой. Называлось сектой пифагорейцев.
В секте пифагорейцев считалось, что существует такой достаточно маленький отрезочек, которым можно измерить другие отрезки так, что он уложится внутри всех них целое число раз. И таким образом, все отрезки становятся соизмеримыми.
Это была главная догма этой секты.
Нужно напомнить, что смысл измерения заключается в том, чтобы сравнить неизвестную меру с известной. Или, скажем, мы можем сравнить два отрезка друг с другом, например, и найти, что один длиннее другого в 2 раза, хоть длина обоих отрезков нам не известна. Но даже в этом случае сравнивается что-то с чем-то, а не отрезок сам с собой.
К этому факту нужно добавить тот смысл, ради которого вся история здесь описывается. А именно, пифагорейцы верили, что если взять малую долю одного отрезка, то он уместится в другом отрезке, в том, который мы хотим измерить, целое число раз. Малая доля здесь если не десятая часть одного отрезка, то 100-ая или даже 1000-ная.
В общем, в какой-то момент будет найден достаточно малый отрезок, который уложится в исследуемом нами отрезке целое число раз.
То, что это не так, впервые доказал сектант Гиппас, за что, кстати, остальные сектанты выбросили его с корабля в море, когда он рассказал им свое доказательство (но потом, конечно, подобрали назад, ибо Гиппас мне враг, но истина дороже).
Гиппас как раз занимался теоремой Пифагора и пытался найти длину диагонали единичного квадрата (такого, у которого длина стороны равна 1). Согласно теореме Пифагора длина диагонали должна быть равна корень из двух.
Гиппас рассуждал так: поскольку согласно убеждениям пифагорейцев любые два отрезка могут быть представлены в виде некоторого целого числа маленьких отрезочков, т.е. отношение длин любых двух отрезков могут быть только рациональными и все, никаких других чисел не существует, то запишем эту мысль, эту высказанную ранее фразу в виде дроби, в виде отношения m/n, где m - целое, n - натуральное .
(Как известно, натуральные - это числа для счета, и ноль в их множество не входит). Пусть m/n - это приведенная дробь, т.е. все, что можно было в ней сократить, уже сократили. Причем, эта дробь равна квадратному корню из двух.
Возведем обе части равенства в квадрат и получим m*m/(n*n)=2, откуда m*m=2n*n. Очевидно, что m*m - четное число (делится на 2), значит, таким же должно быть и число m, потому что в противном случае число m*m было бы нечетным. (Произведение чётных чисел есть чётное число.) Но в таком случае m можно представить в виде m=2k, где k - целое, откуда m*m=4k*k=2n*n.
Отсюда получаем, что n*n=2k*k. Очевидно, что теперь те же самые рассуждения можно провести и для n, т.е. и n - ТОЖЕ ЧЕТНОЕ.
Но это значит, что дробь m/n могла бы быть сокращена, что противоречит исходному предположению. Следовательно, оно было неверным.
Таким образом, догма пифагорейцев опровергнута!
Да здравствует Гиппас!
Скоро конец учебного года. Жаль, что он оказался скомкан из-за коронавируса. Но есть забавные истории в разделах математики (и физики: сейчас придется вспомнить про закон Архимеда и вояж Архимеда по улицам нагишом с криком "эврика!"), которые можно продолжать изучать и рассказывать друг другу, выписывая формулы, проводя рассуждения.
А как вы относитесь к мысли о том, что и летом можно поучиться школьным наукам, и с удовольствием, если делать это удаленно, не выходя из дома, выполняя тесты за компьютером или ноутбуком.
Присылайте своё мнение на этот счёт на электронный адрес kinchesa@yandex.ru Пишите отзывы в строке комментариев.
Подписывайтесь на канал Послушание.ру