Геометрия на ЕГЭ "больная" тема для большинства абитуриентов. Но тчательный и ответственный разбор поможет исправить ситуацию.
Шестое задание - планиметрия
В 6е задание входят следующие темы:
- Прямоугольный треугольник
- Равнобедренный треугольник
- Треугольники общего вида
- Параллелограмм
- Трапеция
- Центральные и вписанные углы
- Касательная, хорда, секущая
Разберем каждую тему на практике.
Прямоугольный треугольник
Пример:
В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, АВ=10, АС=√91. Найдите косинус внешнего угла при вершине В.
Решение:
Так как внешний угол АВD при вершине В и угол АВС смежные, то cosABD=−cosABC
Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла АВС:
cosABC=ВС/АВ
Катет ВС мы можем найти по теореме Пифагора:
ВС=√100−91=√9=3
Подставим найденное значение в формулу косинуса
cosABC=3/10=0,3
cosABD=−0,3
Ответ: −0,3
Пример:
В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, sinA=45,AC=9. Найдите АВ.
Решение:
Распишем синус угла А по определению:
sinA=ВС/АВ=4/5
Так как мы знаем длину катета АС и он не участвует в записи синуса угла А, то можем ВС и АВ взять за части 4х и 5х соответственно.
Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать «х»
АС2+ВС2=АВ2
92+(4х)2=(5х)2
81+16х2=25х2
81=25х2−16х2
81=9х2
9=х2
х=3
Так как длина АВ составляет пять частей, то 3∙5=15
Ответ: 15
Равнобедренный треугольник
Пример:
В треугольнике ABC AB=BC,AH — высота, AC=34,cos∠BAC=0.15. Найдите CH.
Решение:
Так как треугольник АВС равнобедренный, то ∠A=∠С (как углы при основании)
Косинусы равных углов равны, следовательно, cos∠BAC=cos∠ВСА=0.15
Рассмотрим прямоугольный треугольник АНС.
Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Распишем косинус ∠НСА (он же ∠ВСА) по определению:
cos∠НСА=НС/АС=НС/34=0.15
Из последнего равенства найдем НС, для этого 0.15 представим в виде обыкновенной дроби и воспользуемся свойством пропорции:
НС/34=15/100
НС=(34·15)/100=5.1
Ответ: 5.1
Треугольники общего вида
Теорема синусов
Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:
a/sinα=b/sinβ=c/sinγ=2R, гдеR- радиус описанной около треугольника окружности.
Теорема косинусов
Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
a2=b2+c2−2·b·c·cosα;
b2=a2+c2−2·a·c·cosβ;
c2=b2+a2−2·b·a·cosγ.
Пример:
В треугольнике АВСВС=16,sin∠A=45. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС.
Решение:
Воспользуемся теоремой синусов:
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности
ВС/sinA=2R
Далее подставим числовые данные и найдем R
(16·5)/4=2R
R=(16·5)/(4·2)=10
Ответ: 10
Параллелограмм
Пример:
Периметр параллелограмма равен 100, его большая сторона равна 32. Найдите меньшую сторону параллелограмма.
Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то его периметр равен удвоенной сумме его непараллельных сторон, тогда сумма большей и меньшей сторон равна 100:2=50, значит, меньшая сторона параллелограмма равна 50−32=18.
Ответ: 18
Пример:
В параллелограмме ABCD: BE – высота, BE=ED=5. Площадь параллелограмма ABCD равна 35. Найдите длину AE.
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда 35=BE⋅AD=5⋅(5+AE), откуда находим AE=2. Ответ: 2
Пример:
Из точки C параллелограмма ABCD опустили перпендикуляр на продолжение стороны AD за точку D. Этот перпендикуляр пересёк прямую AD в точке E, причём CE=DE. Найдите ∠B параллелограмма ABCD. Ответ дайте в градусах.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда ∠EDC=∠DCE. Так как ∠DEC=90∘, а сумма углов треугольника равна 180∘, то ∠EDC=45∘, тогда ∠ADC=180∘−45∘=135∘. Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то ∠B=∠ADC=135∘.
Ответ: 135
Трапеция
Пример:
Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Ее площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Проведем высоту CH.
ADCH – прямоугольник, следовательно, AH=DC=4. Тогда HB=12−4=8. Площадь трапеции равна 64=AB+DC2⋅CH=4+122⋅CH⇒CH=8 Заметим, что мы получили, что CH=HB=8. То есть △CHB равнобедренный, значит, углы при основании равны, то есть ∠HCB=∠HBC. Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90∘, то ∠B=∠HBC=90∘:2=45∘.
Ответ: 45
Пример:
Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
Пусть M и N – середины боковых сторон трапеции. Отрезок MN пересекает диагонали в серединах: E и G.
Действительно, так как MN – средняя линия, то MN||AB||CD. Следовательно, если рассмотреть △ADC, топример: NE||CD. Так как к тому же N – середина AD, то по теореме Фалеса E – середина AC. Аналогично доказывается, что G – середина DB. Так как средняя линия равна полусумме оснований, то MN=0,5(3+2)=2,5. Так как NE и GM – средние линии в треугольниках ADC и BDC соответственно, параллельные CD, то NE=GM=0,5CD=0,5⋅2=1. Следовательно, EG=MN−NE−GM=2,5−1−1=0,5. Ответ: 0,5
Центральные и вписанные углы
Пример:
Точки A и B делят окружность на две дуги, одна из которых равна 170∘, а другая точкой K делится в отношении 11:8, считая от точки A. Найдите ∠BAK. Ответ дайте в градусах.
Т.к. ⌣AK:⌣KB=11:8, то можно обозначить ⌣AK=11x,⌣KB=8x. Дуга ⌣AKB=360−170=190. Следовательно, 11x+8x=19x=190⇒x=10. Значит, дуга ⌣KB=8x=80. Угол BAK вписанный и опирается на эту дугу, следовательно, он равен ее половине, то есть 40.
Ответ: 40
Пример:
Хорды KN и LM взаимно перпендикулярны. Найдите угол NLM, если угол KML равен 35∘. Ответ дайте в градусах.
Вписанные углы KML и KNL опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны, значит, ∠KNL=35∘. Тогда ∠NLM=180-90−35=55.
Ответ: 55
Касательная, хорда, секущая
Хорды AB и CD пересекаются в точке P, причём AP=6, PB=4, PC=3. Найдите PD.
Произведение отрезков одной из пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой. Покажем это: Соединим AC и BD
Рассмотрим треугольники APC и PBD: ∠APC=∠BPD, как вертикальные, ∠ACD и ∠ABD – вписанные, опирающиеся на одну дугу, следовательно, ∠ACD=∠ABD. Таким образом, треугольники APC и PBD – подобны по двум углам. Из их подобия следует, что CPPB=APPD (в подобных треугольниках против равных углов лежат пропорциональные стороны), откуда можно получить CP⋅PD=AP⋅PB. В данной задаче имеем: 3⋅PD=6⋅4, откуда PD=8.
Ответ: 8
Пример:
Из точки A вне окружности проведена касательная AB и секущая AD, как показано на картинке
Найдите длину отрезка CD, если AC=5, а длина отрезка касательной равна 10.
Т.к. квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то AB2=AC⋅AD=AC⋅(AC+CD), откуда 102=5⋅(5+CD)⇒CD=15.
Ответ: 15