Наверняка вы слышали про Григория Перельмана и какую-то там тупологию. В мире математики есть задачи, которые сильно повлияют на дальнейшее развитие математики. Самые важные отнесли в отдельный список, который назвали 7 задач тысячелетия. К сожалению, у математиков свой мир и банально их формулировку тяжело понять даже математику, не работающему в этой сфере, а уж тем более Танюхе из Пятерочки . Одну из них я и постараюсь объяснить на гуманоидном языке. К сожалению, на данный момент решили только одну задачу из семи-Гипотезу Пуанкаре.
Гипотеза звучит так:
всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.
И как вы догадались, доказал её наш соотечественник Гришка Перельман. Вот он сверху с мамой гуляет-идут в филармонию. Решение задачи российским учёным вызвало БУМ в научном сообществе, а его отказ от присуждения премии ещё больший ажиотаж вокруг его личности. Понятное дело, ведь мы русские, с нами...
Так давайте теперь обсудим, что же именно доказал гений нашего времени и что означает его фраза:
Я знаю, как управлять вселенной. И скажите зачем мне бежать за миллионом
Прежде чем понять, почему Перельман-Танос, надо разобраться в терминологии.
1. Топология
Гипотеза Пуанкаре(Теорема Перельмана) это утверждение из Топологии. Топология-это раздел математики, изучающий свойства непрерывности и связанные с ней свойства пространств. Её ещё часто называют "резиновой геометрией". Если на человеческом языке, то Топология изучает свойства каких-то объектов(к примеру, бублики, шары, крендели), которые не меняются при их непрерывной деформации. Заезженный пример, но всё же его надо привести, то что кружка одно и тоже, что и бублик с точки зрения топологии:
Другой яркий пример, показывает как с точки зрения топологии развязать руки человеку
Но при этом, если на руке были часы ему уже не развязать руки;(
Тупология очень красивая наука, так как в от отличие от других разделов она интуитивна понятна и в ней есть много всяких красивых примеров:
Например, лента мёбиуса, она вроде и трёхмерный объект, но у неё только одна сторона:
Или к примеру Бутылка клейна-страх алкашей. Из неё никак не выпить пивка(на данной картинке вино)
Но если вам предложат купить эту бутылку-не верьте, к сожалению она не представима в трёхмерном пространстве. Ну, после того, как вы примерно поняли, о чём это наука, разберёмся с терминами, без которых теорему сформулировать нельзя.
2.Односвязность и прочая ересь
1. Гомеоморфность
2 объекта гомеоморфны, если один из другого можно получить непрерывными деформациями(это если на человеческом). Это что-то вроде знака "=" в топологии. Но под деформациями подразумеваются растягивания, сжимания, вдавливание, но НЕ РАЗРЕЗАНИЕ,ПРОКАЛЫВАНИЕ И СКЛЕЙКА. В качестве примера подойдёт картинка сверху про бублик и кружку
Но вот бублик и шарик не гомеоморфны, так как, чтобы получить бублик, придётся сделать в шаре промежность. То есть если у вас перо под ребром, и оно прошло насквозь, то с точки зрения топологии вы уже другой человек!
2. Cвязность и Односвязность
Связность- это то, о чём вы и подумали. Если не рассматривать слишком извращённые объекты, то это когда из любой точки на объекте можешь дойти до любой другой(хотя на самом деле это линейная связность). Думаю, вы и без картинки поймёте, что я имел ввиду.
Куда интереснее односвязность объекта. Объясню как это работает, допустим вы вкололи палку в вашу поверхность и привязали одним концом резинку к ней. Потом вы как-то ходите по поверхности, но в пространстве вы ориентируетесь плохо и вернулись обратно. Потом вы нацепляете другой конец резинки на палку и стягиваете её. Если, в итоге у вас резинка стянулась, каким бы вы маршрутом не ходили, то поздравляю-ваше пространство односвязно!
А вот к примеру бублик неодносвязен. Заметим, что эти резинки не стягиваются
3. Гладкое многообразие без края
N-мерное многообразие-поверхность, которая локально устроена как n-мерное пространство. Что это значит обсудим подробно позже.
Гладкое-то и значит, что гладкое. То есть по пути вы не встретите отрыва или что-то в этом роде.
Без края означает, что идя по нему вы не обнаружите пропасти, за которой ничего больше нет
Вот теперь мы готовы подойти к гипотезе Пуанкаре, параллельно разбираясь в гладких многообразиях
4.Компактное
Компактность-аналог чего-то "небольшого" в топологии. Но это аналогия не всегда работает, например, прямая с добавлением точки бесконечность-уже компактное, хотя кажется, что оно большое. Как же объяснить? У нас есть всякие покрывала, которыми мы накрыли нашу поверхность, но, допустим их бесконечно много. Если мы сможем всегда оставить конечное число покрывал, чтобы оно все равно накрывало наше пространство, то оно компактное!
3. Многообразия и гипотеза Пуанкаре
1. Школьное многообразия(1-мерное многообразие)
Самое неинтересное, как и школьник-ботан. Устроено оно так: если вы на нём стоите, то вам кажется, что вы стоите на прямой(локально гомеоморфно 1-мерному пространству), и как школьник на первом звонке идёте по линейке. И нам интересно, как же они выглядят издалека.
Оказывается, что ответ исчерпывается только 2-мя вариациями: это окружность или прямая. Но вот односвязным будет только прямая, так как на окружности резинка никак не стянется;( А прямая вообще не компактная(жаль её). В дальнейшем мы сразу откидываем не компактные
2. Многообразие алкаша(или 2-мерное многообразие)
Вот наш школьник подрос и начал выпивать. Мы знаем, что алкаш не может идти ровно, ему приходится откланяться в стороны, поэтому вокруг него уже должна быть плоскость, а не прямая(Локально гомеоморфно 2-мерному пространству). И где же наш алкаш живёт, спрашивает он себя после бадуна. Вот тут список алкашных многообразий по разнообразнее( по многообразней,хыы).
Наш список состоит из бубликов, сфер, проективных плоскостей(что это объясню как-нибудь в другой статье), и их всевозможных склеек:
Но, односвязным будет только сфера, так как мы заметили выше, что бублик не односвязен. Ну и теперь мы подходим к самому интересному...
3. Многообразие нарика(3-мерное многообразие)
Вот наш алкаш перешёл на более вредные вещества-наркотики. Наркотики это плохо!!!! вредит здоровью!!!!! И теперь ему уже тяжело, не то чтобы на месте стоять, но и балтыхаться вправо-влево, ему теперь надо вверх и вниз(тяжёлые препараты). То есть локально поверхность на которой он живёт-устроена как 3-мерное пространство. Но наш наркоман капризный, ему только односвязное подавай(ох уж эта золотая молодёжь).
Вот Пуанкаре и задался вопросом, где же он живёт тогда? Перельман доказал, что наш наркоман может жить только на 4-мерной сфере. К сожалению, наш мозг не в состояние его себе представить, но по логике повествование, вы, наверное, поняли что имеется ввиду под 4-хмерной сферой
4. Почему Перельман-Танос?
Вот мы всё это читаем и не понимаем, нафиг это изучать. Но оказывается, что скорее всего, весь наш мир и есть 3-мерное гладкое односвязное многообразие. Так как вокруг нас мы видим только простраство, куда бы не пошли!
Значит, мы все живём на каком-то 4-мерном шарике!
Вот что имел ввиду Перельман, когда говорил про вселенную и то, как он управляет. Ну, и что, что он не выйдет с тобой один на один, но он в отличие от тебя понимает, где мы живём и что вселенная круглая(Пожалуйста, не сжигайте Перельмана!!!)