Расскажу вам об интересной математической задаче, связывающей теорию вероятности и математический анализ(Не бойтесь этих бУкАв).
Допустим, вы со своей бабушкой идёте в театр(это кайф для них). Вместе с вами приходят ещё огромное количество таких же парочек. И тут перед вами незадача, вместо завсегдатай Таньки в гардеробе стоит обезьяна, но вы как ни в чём не бывало сдаёте ей своё пальтишко. Слушая заунылую филармонию, вы осознаёте, что после окончания вам и всем остальным сидящем в зале придётся забирать свои вещи у этой обезьяны. Заметим, что обезьяна не шибко умная и выдаёт вещи произвольно, то есть вместо своей пальтишки вы можете получите шубу какой-то другой бабки. И тут вы задаётесь вопросом: с какой вероятностью никто из присутствующих не получит своей одежды?
Казалось бы, как мы найдём вероятность, не зная кол-во людей? Да и если найдём, наверняка вероятность слишком мала. Матанализ даёт очень точный ответ на этот вопрос.
1. Для этого нам придётся вспомнить пару определений из теории множеств:
Множество-это какой-то набор объектов(к примеру А={1,панк,7,3,4})
Пересечением 2-х множеств А и В мы называем все элементы лежащие одновременно и в А и в В. К примеру, пересечение всех пожилых и женщин-это наши любимые бабушки;). Объединением двух множеств- это все элементы из А и Б. Для чего же нам это надо:
Пусть все посетители театра занумерованы числами от 1 до n (где n-это количество посетителей). Пусть Аi - это множество случаев когда i-я бабушка(или внук) получит свою шубу/пальтишко.
Понятно что все случаи, когда никто не получит своей одежды, это все возможные случаи, когда обезьяна может раздать одежду, без тех случаев, когда кто-нибудь получит свою одежду, то есть без объединения всех множеств Аi.
Хотелось бы подсчитать, это кол-во:
для кол-во элементов множества есть своё обозначение, оно обычно называется мощностью множества и записывается в таком виде |A|
Теперь подумаем, как найти мощность объединения множеств. Казалось бы, что это просто кол-во элементов в первом множестве плюс кол-во во втором. Но мы забываем про то, что у этих двух множеств могут быть общие элементы, поэтому эти общие элементы в нашей сумме учитываются дважды. Поэтому на самом деле формула имеет такой вид
Если множеств у нас больше 2-х, то формула имеет вид
Выводить мы её не будем, но суть примерна та же.
Но это формула нам кажется страшной и нихера непонятной, слишком как-то абстрактно. Мы её упростим чуть позже, но для этого нам надо обратиться к комбинаторике. Это раздел математики, изучающий пересчёт чего-либо. К примеру, сколько может быть кодов в сейфе(Ответ 10^4=10000).
2. Теперь узнаем пару формул из комбинаторики:
Во-первых, нам надо узнать, сколькими способами наша обезьяна может раздать куртки всем.
Это количество называется числом перестановок и имеет формулу:
Также есть такое понятие, как число сочетаний
Она говорит о кол-ве способов взять k элементов из множества, состоящего из n элементов. К примеру, если вы едете к корешу и надо взять 2 пары обуви, так как на улице погода не айс, а у вас 10 пар паленных кросс, то вы сможете это сделать 10*9/2=45 способами.
3. теперь воспользуемся этой непонятной белибердой для нашей задачи:
Мы знаем, что кол-во раздач обезьяной шмоток так, чтобы никому не досталось своей равно кол-ву всевозможных раздач шмоток обезьяной минус мощность объединения всех всех Ai(напомню, что Ai- все способы раздачей обезьяны шмоток так, чтобы i-му человеку досталась его шмотка).
Мы уже знаем, что все способы которыми обезьяна раздаст шмотки равно n!(где n-это кол-во посетителей театра).
Дальше самое сложное(соре гуманитарии)
Так как мощность Ai одинаково для всех i, потому что перед обезьяной мы все равны;(, и соответственно всевозможные пересечения по мощности не зависят от того, какие мы Аi пересекаем, то применяя формулу сочетания получаем, что мощность объединения Аi равна:
Теперь попробуем найти мощности пересечения.
Всевозможные варианты, где первому достанется своя шуба это все равно что переставлять все шмотки кроме её, то есть (n-1)! по аналогии мощность пересечения A1 и A2 равно (n-2)!. По аналогии найдём и для остальных пересечений. Если мы ещё вычтем эту сумму из n!, то и получим кол-во всевозможных раздач обезьяной шмоток так, чтобы никому не досталась своя пальтишка/шуба. В результате сложных для мозга размышлений, получаем, что кол-во равно:
Знаю, знаю, что слишком непонятно, но дальше мы получим красивый ответ.
4. Ну и наконец найдём нашу вероятность
Мы знаем, что вероятность равно делению кол-ву благоприятных условий на количество всевозможных. То есть вероятность того, что никому не достанется своя шмотка равна той страшной сумме сверху поделённой на n! При делении мы получаем красивенькую формулу:
А теперь разберёмся, что это за дребедень:
- Если бы кол-во посетителей было бесконечно, то из курса матанализ следует, что вот это то бы выражение равнялось 1/e, где е-число Эйлера(Очень важное число в математике, как число пи и оно очень часто встречается в природе). е примерно равно ≈ 2,7182818284.
Но кол-во наших посетителей велико, поэтому для этого выражения наше n как будто бесконечность. То есть при больших значениях n это выражение очень похоже на 1/e. Тогда мы и получаем наш ответ, что вероятность того, что никому не достанется своя шмотку примерно равна 1/e=0,36787. То есть примерно в одном из трёх случаев таньке придётся нехило огребать за обезьяну. Интуитивно, нам кажется, что такой исход событий мало вероятен, но математика даёт другой ответ...
Теперь ты сможешь подтянуться перед девочкой в баре или своими друзьями, что оказывается обезьяна...