Общий язык грузинской нации - картули эна (грузинский язык). Это довольно сложный (особенно в плане глаголов!) древний неиндоевропейский язык картвельской семьи с примерно пятью миллионами носителей.
Грузинский язык относятся к разряду древнеписьменных - надписи на нем существуют с V века нашей. Грузины для гражданской записи используют уникальный алфавит мхедрули. Есть у них и отдельный церковный алфавит - асомтаврули.
Картули эна имеет множество диалектов, впрочем не особо различающихся между собой. Обитатель Аджарии в принципе легко поймет разговорную речь имеретинца или кахетинца.
Но есть в Грузии и другие картвельские языки. Это мегрельский, сванский, лазский. Эти языки разошлись с грузинским еще до нашей эры, и ныне кахетинец речи мегрела или свана не поймет. Впрочем, все мегрелы и сваны отлично знают государственный язык.
Неплохо помнят в Грузии и русский язык. Особенно старшее поколение за сорок лет, учившее его при СССР на уроках в школах. Молодежь за годы независимости грузинский подзабыла. Но с началом туристического бума из России начала резко учить.
Также продвинутая молодежь, особенно в Тбилиси, порой неплохо знает и английский язык. Помнится, президент Саакашвили даже как-то пообещал выписать в каждое грузинское село по преподавателю-американцу.
Национальные меньшинства Грузии говорят на своих языках - азербайджанском, чеченском, армянском, осетинском и т.д. Причем, не всегда зная государственный язык - в силу его крайне сложного характера и своего компактного расселения (где мы, армяне, тут у себя в Ахалкалаки найдем хоть одного грузина для языковой практики?)