Всем привет!
Сегодня публикую вторую часть заметки про лемму о велосипедистах, в которой собственно появятся, наконец, велосипедисты. Первую часть заметки можно прочитать по ссылке. Кроме того, можно вступить в сообщество вконтакте, где тоже происходит много интересного.
Появление велосипедистов
В прошлом рассказе мы установили очень важное утверждение: если мы хотим перевести отрезок AB (красный) в отрезок A'B' (синий) поворотной гомотетией (точка A переходит в A', а B — в B'), то можно сделать, например, следующее. Найти точку пересечения Y прямых AA' и BB', далее найти вторую точку пересечения Z описанных окружностей треугольников ABY и A'B'Y, и точка Z окажется центром искомой поворотной гомотетии. (В качестве альтернативы, в силу утверждения про точку Микеля, можно было бы искать точку пересечения X прямых AB и A'B' и пересекать окружности AA'X и BB'X, но нас сейчас будет интересовать именно первый способ.)
Видим, что на самом деле полученная поворотная гомотетия совмещает не просто отрезки AB и A'B', а целиком окружности, описанные около треугольников ZAB и ZA'B', поскольку Z неподвижная точка.
Это означает, что какую бы точку C на первой окружности и ее образ C' на второй окружности мы не взяли, наоборот прямые AA' и CC' должны пересекаться в общей точке окружностей, отличной от Z, то есть в точке Y. Итак, все прямые соединяющие соответствующие точки на окружностях обязаны проходить через точку Y.
Трактовать это утверждение можно следующим образом. Если по окружностям из точки Z запустить по часовой стрелке двух велосипедистов с одинаковыми угловыми скоростями, то прямая, их соединяющая, обязательно будет проходить через вторую точку пересечения окружностей.
Конечно, это утверждение легко установить подсчетом углов, пристально вглядевшись в картинку:
Много подобных треугольников
Если Z — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок AB в отрезок A'B', то он же и центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок AA' в отрезок BB', в частности, треугольники ZAA' и ZBB' подобны. Или, привлекая велосипедистов, можем заключить, что все треугольники, одна из вершин которых находится в точке Z, а две других в положениях велосипедистов, попарно подобны. Можно воспринимать это и так: все углы AZA' одинаковые (угол поворотной гомотетии) и все отношения ZA'/ZA одинаковые (коэффициент поворотной гомотетии). В частности, это означает, что все треугольники вида ZAA' не просто подобны между собой, но и подобны треугольнику ZOO', где O — центр окружности по которой едет первый велосипедист, а O' — центр траектории движения второго велосипедиста.
Траектории движения соответственных точек
Теперь более или менее понятно как будут устроены геометрические места соответственных точек в треугольниках ZAA'. Если мы выберем какую-нибудь точку, скажем, центр вписанной окружности, то он должен двигаться по окружности, проходящей через Z, а центром этой окружности, конечно же должен быть центр окружности, вписанной в треугольник ZOO'. Все это связано с тем, что поворотная гомотетия с центром в точке Z совмещающая два положения велосипедистов A, A' с B, B' совмещает и все соответственные точки.
Траектория движения середины отрезка между велосипедистами
Мы подобрались к самому интересному. Давайте проследим за траекторией движения середины отрезка, соединяющего велосипедистов. Из сделанных наблюдений следует, что середина M отрезка AA' движется по окружности, проходящей через точку Z. При этом центр этой окружности есть ни что иное, как середина отрезка OO'. Ясно, что тогда эта окружность, в частности, проходит и через вторую точку пересечения Y исходных окружностей.
То, что я называю леммой о велосипедистах
Утверждение, которое я называю леммой о велосипедистах состоит в том, что на плоскости есть точка, все время равноудаленная от велосипедистов. Это равносильно тому, что серединные перпендикуляры к отрезкам AA' все время проходят через одну точку. Это очевидно — они проходят через точку Y', диаметрально противоположную точке Y в построенной окружности, являющейся геометрическим местом точек M.
Эту точку можно исходя из построения определить иначе: точка симметричная точке Y относительно середины отрезка OO', то есть четырехугольник YO'Y'O должен быть параллелограммом, а ZY'OO' — равнобокой трапецией. В частности, угол Y'ZY оказывается прямым.
Ну и заканчиваю публикацию гифкой, которой начинал — лемма о велосипедистах. В следующий раз планирую разобрать несколько задач с применением полученных навыков.
