У Бена Ганна есть много денег и он играет в орлянку. Бросает монету и, с равными шансами выигрывает или проигрывает один шиллинг. За несколько лет он сыграл миллион партий. Сколько денег он мог проиграть? А сколько раз он был в плюсе? Сколько раз "плюс" менялся на "минус" и обратно?
С точки зрения возможности --- ответы банальны. Он мог проиграть сколько угодно, вплоть до миллиона (с поправкой на делимость --- за две игры, например, нельзя проиграть один шиллинг). И выиграть, естественно, тоже. И +1 мог сменяться -1 и обратно каждые два хода. Но всё это --- очень, очень маловероятно.
Случайная величина в нашем случае принимает +1 и -1 с равными вероятностями. Ее матожидание равно нулю, а дисперсия --- единице. Серия наблюдений --- это последовательность таких величин, одинаково распределенных и независимых. Среднее --- это сумма выигрышей S за n игр, поделенная на количество игр: S/n. Это оценка матожидания (она нулю равняться не обязана, хотя и может).
Однако в силу закона больших чисел имеет место сходимость среднего к математическому ожиданию то есть S/n стремится к нулю.
Это означает, что средний выигрыш за один ход при большом числе игр --- мал, а еще --- что текущий выигрыш/проигрыш мал по сравнению с n. Мал в вероятностном смысле: выигрыши, сравнимые с n, имеют в сумме очень малую вероятность.
Однако эта оценка весьма грубая. Центральная предельная теорема, например, утверждает сходимость суммы центрированных (с нулевым матожиданием ) нормированных (с единичной дисперсией) независимых одинаково распределенных случайных величин к нормально распределенной, то есть сумма X распределена приблизительно нормально со средним E=0 и дисперсией n: ведь матожидание и дисперсия суммы независимых величин равны сумме матожиданий и дисперсий, соответственно.
Но известно, что вероятность уклонения нормально распределенной величины за пределы 3σ от своего матожидания --- очень мала. (Здесь σ --- среднеквадратическое отклонение --- корень из дисперсии).
Таким образом, сумма редко превышает величину 3√n. Даже если взять диапазон радиусом 5σ (вероятность выходы за его пределы еще меньше), характер зависимости остается --- квадратный корень. Таким образом, при миллионе игр при единичной ставке выигрыш более нескольких тысяч --- нереален.
Более точные оценки дает закон повторного логарифма:
Поскольку при большом n большой перевес в ту или иную сторону маловероятен, то у игрока должны быть (в смысле, с высокой вероятностью присутствуют) периоды выигрыша и проигрыша. Число возвращений, то есть возврата к исходному капиталу, пропорционально √n асимптотически (доказательство у Феллера [1] в главе 8, параграф 6). Таким образом, в серии из миллиона партий будет (с большой веростностью) всего несколько тысяч переходов лидерства. Точная формула такова: в серии из 2n игр среднее число возвращений имеет асимптотику
Формально длительность периодов лидерства описывает закон арксинуса. Поделив число партий, после которых Бен в выигрыше (то есть денег у него больше, чем было изначально), на число сыгранных партий n, получим меру везения L; ее функция распределения в пределе n→∞ имеет вид
Получается, что вероятность быть в плюсе 90% времени составляет 1-F(0.9)~0.2, а 80% --- 0.3.
[1] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1. М.: Мир, 1963.