Читаю с утра интернет, попалась задачка:
Даны два одинаковых правильных восьмиугольника и 8 красок. Каждая вершина каждого многоугольника окрашена в один из цветов так, что для покраски каждого многоугольника использованы все цвета. Многоугольники положили один на другой. Докажите, что можно повернуть (не переворачивая) один из многоугольников так, что по крайней мере в двух местах цвета вершин совпадут.
И что-то так захотелось молодость вспомнить.
Я начала чертить два восьмиугольника, пытаться соединять все вершины, искать количество уникальных линий от вершины к вершине. Потом пыталась найти способ решить "от противного", но не придумала ни одного. Потом я хотела составить матрицу, но перебирать вручную совпадут ли числа было утопией.. Я вычислила все возможные варианты, их получилось столько, сколько описано в моем решении, и отсюда меня немного осенило. Но я до сих пор не уверена, что решение верное. Но оно такое красивое)
Мое решение:
Обозначим 8 цветов многоугольников числами от 1 до 8. Очевидно, что одна из вершин по цифре (то есть цвету) будет совпадать в любом случае.
Количество различных вариантов расположения остальных 7 вершин двух 8-угольников будет 7!
1*2*3*4*5*6*7=5040
Вероятность совпадения одной вершины 1/8
Вероятность совпадения хотя бы двух вершин 1/8*1/7=1/56
Есть ли среди 5040 вариантов расположения вероятность, что совпадет еще 2 числа?
5040*1/56=90 - 90 таких комбинаций.
Как думаете, правильно ли я решила?