Правильно: влезает в окно
Два глагола и оба «допустимы» — всё как мы любим (нет). Глагол «влазить» считается просторечным, который словари настоятельно не рекомендуют употреблять. Общеупотребительный и, соответственно, литературный вариант — «влезает».
Правильно: его мучит совесть
С мучениями всё не так однозначно. Лучше вообще никому с ними не сталкиваться. Некоторые словари считают, что «мучить» и «мучать» — равноправные глаголы. Орфографический словарь Лопатина протестует и приводит «мучить». А глагол «мучать» помечает сокращением «разг.». Причём если словари ещё как-то допускают варианты «мучаю», «мучаешь» и «мучает», то в прошедшем времени исключительно «мучил». Так что совесть вас всё-таки чаще должна мучить, а не мучать. А лучше обойтись без этого.
Правильно: щиплет кожу
Щипет, щиплет, щипает — три вида неприятного глагола, и лишь один из них литературный. Щипет — что-то вроде детского варианта глагола, а щипает обозвали разговорным (просторечным). В глаголах, у которых на конце корня буквы «п», «б», «м», «в», «ф», в форме 3-го лица единственного числа происходит чередование в корне и неожиданно появляется буква «л». Щипать — щиплет, сыпать — сыплет, капать — каплет.
Не забывайте, что у первого спряжения в окончании должна быть буква «Е». Так что если вы бунтарь в русском языке и используете привычную разговорную форму, как минимум пишите правильное окончание.
Правильно: котики мурлычут, собаки лают
Котики могут мяукать и мяучить, мурлыкать и мурчать. Им не запретишь! Но котики, которых воспитывали строго по правилам русского языка, мяукают и мурлычут. Такой вот странный русский, нет чтобы всё сделать одинаковым: мяукают и мурлыкают или мяучат и мырлычут. Увы, нет.
Ещё раз: ваш кот мурлычет, а не мурчит, и мяукает, а не мяучит. Теперь информация для хозяев собак. Глагол «лаять» — первого спряжения, поэтому в окончании у него может быть только -ют.