Доброго времени суток. На сегодняшнем разборе задач мы будем решать интеграл функции комплексной переменной. Такого рода примеры попадаются редко, но они достаточно интересные и требует особой внимательности, так как знать нужно не мало. Запишем интеграл:
Выглядит просто. Внешность бывает обманчива... Но не сегодня, интеграл и в правду лёгкий. Его решать необходимо отталкиваясь он проверки на аналитичность. Как мы уже знаем, синус, функция аналитическая. Единица находящаяся под знаком интеграла особо роли не играет. Проведём коротенькую проверку на аналитичность по формуле:
Сама проверка:
Проверка пройдена. Можно было выполнить проверку используя свойства Коши-Римана, но оставим это на другой раз, тут и так всё предельно понятно.
Так как подинтегральная функция у нас аналитическая, решать интеграл можно используя формулу Ньютона-Лейбница. Если так, то необходимо определиться с пределами интегрирования. При решении интегралов с комплексной подинтегральной функцией, не стоит забывать что все действия происходят в области комплексных чисел. Следовательно пределы интегрирования будут тоже комплексные. Запишем их:
Пределы интегрирования получены исходя из начальных данных, где z1 и z2 являются O и С соответственно. Выполним подстановку полученных пределов и начнём вычисление.
На данном этапе мы выполнили подведение под знак дифференциала. Далее проинтегрируем по новой переменной интегрирования z+1 и выполним подстановку пределов интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница.
Упростим и запишем конечный ответ:
В ходе упрощений воспользовались формулой cos(a+b) и формулой связывающей тригонометрические функции действительного аргумента, и гиперболические функции.
Ответ получен, все вопросы по решению задавайте в комментариях. Используемые в этой статье темы, прикреплены ниже. Спасибо за внимание.
Другие темы: