Доброго времени суток. На данном занятии будем продолжать мучить всё ту же систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Не стоит унывать. Решать будем другим методом. Используем метод Крамера для того, чтобы провести сравнение между решением при помощи обратной матрицы использующей метод окаймляющих миноров и методом Крамера. Убедимся на сколько этот способ будет проще. Для тех, кто знает как решать данную ниже систему методом Крамера и не хочет задерживаться, попрошу переместиться в конец статьи, там представлено полное решение без комментариев. А мы перепишем систему:
Четыре неизвестных, всё по стандарту. Мы лёгких путей не ищем.
Запишем формулы на которые будем опираться.
Для нахождения всех неизвестных нужно вычислить пять определителей четвёртого порядка. "Дельта без индекса" обозначает определитель основной матрицы составленной из коэффициентов при неизвестных. "Дельта с индексом" один это определитель матрицы составленной при заменённом первом столбце основной матрицы столбцом свободных элементов (находящихся после равенства). В общем "индекс" показывает номер столбца который нужно заменить у основной матрицы.
Для решения методом Крамера, нужно удовлетворить некоторым условиям:
1) Определитель основной матрицы не может равняться нулю.
2) Количество строк СЛАУ равняется количеству неизвестных.
Проспойлерим. Если второе правил не соблюдается, то первое пермоментно выполнить невозможно (определитель можно вычислить только для "квадратной" матрицы). В нашем случае второе условие выполняется. Приступим к вычислению определителя для проверки первого условия.
Определитель отличен от нуля, следовательно решать систему методом Крамера можно. Вычислим определитель "дельта один" заменив столбец свободных членов вместо первого столбца основной матрицы.
На первый взгляд удобно сделать разложение по первой строке и второму столбцу. Для этого нужно получить нули во втором столбце начиная со второй строки. Для этого первую строку умножим на минус единицу и прибавим вторую и четвёртую строки соответственно. Далее выполнили разложение и записали алгебраическое дополнение. Подобным образом найдём остальные определители.
Тут работали тоже со вторым столбцом, только строка четвёртая.
Работали опять с первой строкой и вторым столбцом.
Все определители найдены. Следующий этап просто подставить все найденные значения в формулы и найти все неизвестные. Запишем в виде системы для удобства.
Необходимо подвести итоги проделанной работы. Метод Крамера использовать при решении системы с четырьмя неизвестными вполне удобно, но есть ещё более быстрый способ решения. В следующий раз мы его продемонстрируем. Спасибо за внимание.
Полное решение:
Другие темы: