Решение задач №8 Найти общее решение дифференциального уравнения.

Доброго времени суток. Сегодня будем разбираться с довольно простеньким примерчиком. Нужно ведь хоть когда-то отдыхать. Решать будем линейное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. С разделяющимися переменными оно называется, потому что можно переменные разделить (очевидно). Именно перенести всё что зависит от одной переменной в одну сторону, а от другой в другую. Запишем сам пример собственно говоря.

Уравнение с разделяющимися переменными.

На первый взгляд похоже больше на уравнение в полных дифференциалах. Но это не так. Проведём элементарные преобразования. Для начала перенесём что-нибудь в правую часть.

Далее отправим y из правой части в знаменатель в левую часть уравнения и распишем y'.

Воу! Мы на половине пути. Перенесём dy в знаменатель в левую часть.

В таком виде позорно записывать диффур на самом деле, но упустить этот момент нельзя. Поэтому мы перевернём уравнение "вверх ногами" и сразу начнём интегрировать, благо математические правила позволяют это сделать.

Этап интегрирования.

Можно заметить, что, интеграл в правой части является табличным. А вот с левым мы разделаемся отдельно. Перепишем его и начнём вычисление.

Вычисление интеграла из первой части уравнения.

Первым делом, мы внесли y^2 под знак дифференциала и вынесли константу 1/2. Следующий очевидный шаг, это внести четвёрку под знак дифференциала, чтобы привести переменную интегрирования к виду знаменателя 4+y^2 и вместе с этим к табличному интегралу x^(a+1)/(a+1). a в нашем интеграле это квадратный корень. Запишем решённый интеграл в левую часть дифференциального уравнения (разумеется без константы), а правую часть диффура проинтегрируем по таблице (запишем с константой). В итоге получим такую картину:

Получили общее решение в неявном виде. Остаётся выразить y в левой части и мы получим общее решение. Возведём левую и правую части в квадрат, дабы избавиться от корня. Четвёрку переносим в правую часть и выражаем игрек. Нельзя забывать про плюс-минус, ведь значение под корнем всегда больше нуля и при избавлении от него, появляется модуль. Записываем общее решение:

Общее решение.

Сегодня был разминочный пример однако. Ну ничего, в следующие разы отыграемся. Если вам было слишком просто, попрошу ознакомиться с другим диффуром (ЛНДУ), решали мы его двумя разными способами методом Бернулли (Решение задач № 6) и методом вариации произвольной постоянной (Решение задач № 7). А на сегодня всё. Спасибо за внимание.

Другие темы:

• Решение задач №7. Найти общее решение дифференциального уравнения.
• Решение задач №6. Найти общее решение дифференциального уравнения.
• Решение задач №5. Найти решение СЛАУ.