Доброго времени суток. Сегодня возьмёмся за объёмную, но не менее интересную задачу. А именно поиск решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом обратной матрицы. Для тех, кто знает как это делать и желает лишь убедиться в правильности своих мыслей, полное решение будет в конце статьи. Запишем систему:
Система четвёртого порядка. Решение будет довольно не маленькое. Запишем формулу для вычисления системы уравнений методом обратной матрицы.
Где А" в минус первой степени:
"А*" это матрица алгебраических элементов для основной матрицы. Буква "Т" обозначает транспонирование. То есть транспонирование матрицы состоящей из алгебраических дополнений. "det(A)" - определитель матрицы "А".
Как все догадались "А" в минус первой степени это и есть обратная матрица составленная из коэффициентов основной матрицы системы. "В" матрица столбца свободных элементов (те, что после равенства). "Х" матрица неизвестных, то есть тех что необходимо найти. Продемонстрируем:
Иначе говоря, если перемножить матрица "А" на матрицу "Х", мы получим матрицу "В", получится исходная система что записана в самом начале. Для того, чтобы убедиться в том, что СЛАУ можно решать методом обратной матрицы, нужно убедиться в невырожденности матрицы составленной из коэффициентов при неизвестных, то есть определитель должен быть отличен от нуля. Выполним проверку.
Стоит прокомментировать последовательность действий. Для удобства обнулили все элементы второго столбца начиная со второй строки, чтобы в дальнейшем сделать разложение матрицы по первой строке и второму столбцу. Умножили первую строку на минус один и потом сложив её с второй и четвёртой строками поочерёдно. Далее выполнили разложение по первой строке и второму столбцу. Получили определитель третьего порядка, после проделали подобные действия что и делали ранее, только по первому столбцу и первой строке. В конечном итоге получен определитель основной матрицы равный 135, он отличен от нуля, значит матрица невырожденная. Решать систему методом обратной матрицы можно. Продолжим.
На следующем этапе необходимо найти алгебраическое дополнение для каждого элемента основной матрицы. Запишем формулу нахождения алгебраического дополнения.
Используя её найдём 16 алгебраических дополнений.
Найдя все алгебраические дополнения используем формулу для нахождения обратной матрицы.
Найдём все неизвестные по самой начальной формуле. Умножим обратную матрицу на столбец свободных элементов.
В конце всё идеально сократилось, что говорит о правильности вычислений. Запишем конечный ответ в виде системы:
Подведём итоги. Решение СЛАУ методом обратной матрицы крайне долгое, много расчётов выходит. В следующий раз попробуем решить эту же систему другим способом. В этом случае можно будет точно сказать, на сколько данный метод дольше и сложнее относительно другого. Спасибо за внимание.
Полное решение:
Другие темы: