Доброго времени суток. На данном разборе будем решать задачу Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) первого порядка. Для тех кто имеет представление как решать такого рода пример, можно время не терять и сразу пролистать в конец статьи для просмотра полного решения (методом Бернулли). Запишем в привычном для нас виде:
В данном разборе решение будет представлено методом Бернулли (замены переменной). Возможно для кого-то этот метод покажется проще. Не будем тянуть, приступим к решению.
Первое необходимо проделать замену всех "y" находящихся в нашем уравнении. Замену на:
Вместо одной переменной будет две, и обе зависящие от переменной "x". Внесём замену в исходное уравнение.
Далее следует раскрыть все скобки, дабы вынести за скобки другую переменную.
На этом этапе необходимо составить систему уравнений. Всё что в скобках приравнять к нулю, а остальное оставить без изменений. Решение будем оформлять в виде системы для удобства.
В первом уравнении пропало второе слагаемое, так как всё что в скобках равняется нулю. Решаем второе в системе дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Не совсем понятный переход от общего интеграла к полученному решению, да ещё и без константы. Поясним:
Константу на этом этапе лучше всего не записывать, так как она будет только мешать дальнейшему решению. Стоит выполнить логарифмические преобразования и получить функцию "v", дабы потом провести замену в первом уравнении.
Задача свелась в первом уравнении к нахождению решения для функции "u". Проведём небольшие преобразования и упрощения.
В последней системе подробнее распишем решение интеграла.
Расписав таким образом подинтегральное выражение, сразу видно формулу синуса двойного угла. Запишем общее решение каждой функции.
Осталось провести обратную замену.
Решим задачу Коши применив заданные условия y(0)=0.
Общее решение получено и задача Коши решена, всё выполнено.
Другие темы:
Классы функций. Векторная функция векторного аргумента.
Полное решение: