Доброго времени суток. На данном разборе будем решать задачу Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) первого порядка. Для тех кто имеет представление как решать такого рода пример, можно время не терять и сразу пролистать в конец статьи для просмотра полного решения (методом вариации произвольной постоянной).
Запишем в привычном для нас виде:
Решить этот пример можно двумя способами:
1. Метод вариации произвольной постоянной
2. Метод Бернулли (замены переменной)
На нынешнем разборе решим методом вариации произвольной постоянной, так как в предыдущий раз использовали метод Бернулли.
Приступим к решению. Решение будет как у обычного ЛНДУ. Приравняем левую часть уравнения к нулю:
Исходное уравнение является с уравнением с разделяющимися переменными. Всё что зависит от "y" перенесём в левую часть, что от "x" в правую.
Теперь необходимо проинтегрировать левую и правую части. Но стоит заметить, что в правой части интеграл берётся не совсем табличный. Распишем его отдельно:
Запишем ответ в правую часть дифференциального уравнения:
Стоп. Откуда появился натуральный логарифм от константы? В теории дифференциальных уравнений можно в целях удобства решения представлять константу в изменённом виде. На этом этапе выполним логарифмические преобразования.
Теперь можно избавиться от логарифма в левой и правой части. И приступить к самому методу вариации произвольной постоянной.
Константа стала зависимой от переменной "x" и приобрела новое обозначение. На следующем этапе следует взять такое количество производных, какое содержится в начальном уравнении. Иначе говоря определяем порядок изначального дифференциального уравнения и берём количество производных соответствующих этому порядку. Наше исходное уравнение первого порядка (производная первого порядка), значит нужно взять одну производную.
Проведём замену в исходном дифференциальном уравнении "новыми" переменными.
Далее выполним необходимые упрощения и агебраические преобразования...
Выполнив все необходимые преобразования можно найти нашу ранее заменённую константу путём интегрирования.
В общем, проводя последнюю замену, после мы получаем общее решение. Но не стоит забывать, что нужно решить задачу Коши.
Константа получилась равной единице. Общее решение дифференциального уравнения получено, а также получено решение для задачи Коши.
Абстрагируясь от задачи Коши, вероятно вы заметили на одном из этапов решения, что можно получить другой ответ этого же уравнения. Это этап интегрирования константы, когда мы двойку сразу вынесли за скобку для того, чтобы провести замену на синус двойного угла и действовать по накатанной. Для наглядности представим три наиболее очевидных вида общего решения (включая наш) этого дифференциального уравнения без решения задачи Коши:
На первый взгляд они все разные, но выполнив не большие тригонометрические преобразования можно от одного переходить к другому.
Другие темы:
Полное решение: