Планиметрия за 2 минуты:решаем задачу 16 из ЕГЭ

Точка M — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N. а) Докажите, что ∠CAN = ∠CMN.
б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если tg ∠BAC = 12/5 .

Поясним, если вдруг неясно: tg∠⁡BAC=12/5, значит если AC=5x, то BC=12x. Тогда по т. Пифагора AB=13x.

От нас требуется доказать, что ∠CMN=∠CAN (см.рис)

Ну вот, допустим, если имеет место вот такой рисунок, то и доказывать то нечего:

Здесь вокруг четырехугольника описана окружность, а наши углы – вписанные и опираются на одну и ту же ее дугу. Вывод:они равны! Осталось только доказать, что через точки A, M, N и C можно провести окружность.

Через четырехугольник можно провести окружность, если сумма его противоположных углов = 180 градусов.

Что ж, приступим. Обозначим за α угол ∠ABC и получим следующую картинку:

Из прямоугольного треугольника NMB: ∠MNB = 90-α, а ∠CNM = 90+α как смежный с ним. Из прямоугольного треугольника ABC: ∠BAC = 90-α.

∠BAC+∠CNM = (90-α) + (90+α) = 180, а значит вокруг AMNC можно описать окружность, и наши углы CMN и СAN равны между собой как вписанные и опирающиеся на одну дугу.
Доказали.

Пункт б)

Вот такая картинка. Описали окружности вокруг ANB и CBM (на рисунке каждая из окружностей изображена частично в виде необходимой дуги). Надо найти отношение радиусов соответствующих окружностей.

Очень хорошо, если вы понимаете, что здесь нет ничего логичнее Теоремы Синусов. Для удобства «желтый» радиус – R_1, «красный» - R_2.

По Теореме синусов: R_1=AB/(2 sin⁡∠ANB )=13x/(2 sin⁡∠ANB ) ,
R_2=BC/(2 sin⁡∠CMB)=12x/(2 sin⁡∠CMB )

Вот тоже самое более правильной символикой

Дальше красивая идейка: обозначим за φ ∠BAN, затем посмотрим на картинку, вспомним пункт а) и опять посмотрим на картинку:

Как нетрудно заметить, ∠MCN тоже опирается на дугу MN ,а значит, он равен φ

Из треугольника CMB: ∠CMB=180-φ-α.

Из треугольника ANB: ∠ANB =180-φ-α. (см.картинку ниже)

Всем спасибо за просмотр!