Я тут "переварил" некоторую мысль, недавно услышанную, и наложил её на математику. Получилось немного странно и страшно...
Вводные:
- В математике есть понятие "непротиворечивости": система утверждений называется непротиворечивой, если из неё нельзя вывести два противоречащих друг другу суждения. Например, система аксиом "все бобры едят людей" и "все бобры не едят людей" будет очевидно противоречивой.
- Принцип дихотомии: любое высказывание может быть либо истинным, либо ложным.
- Теорема Гёделя (в упрощённом и немного некорректном виде): в непротиворечивой системе аксиом всегда будут утверждения, истинность или ложность которых невозможно определить.
- Принцип доказательства "от противного". Пусть мы хотим доказать некое утверждение X. Вместо того, чтобы доказывать его истинность ("прямое" доказательство), мы предположим, что X — ложно. Если путём дальнейших рассуждений мы придём к какому-то противоречию, то, значит, наш исходный посыл, что X — ложно, был неверен. А, значит, X не может быть ложным.
Такой тип доказательств используется очень часто и в геометрии, и в других областях математики (например, при доказательстве того, что корень из двух — не рациональное число).
Суть заметки:
Доказательство "от противного" нельзя вообще использовать. Попробуем это обосновать.
- Как мы доказываем от противного? Мы предполагаем, что доказываемое утверждение Х — ложно ("предположение"). Если мы приходим к противоречию, то, значит, наше исходное предположение было ложно.
- Большинство разделов математики базируется на арифметике.
- Доказано, что арифметика непротиворечива.
- Значит, по теореме Гёделя в арифметике имеются высказывания, чью истинность или ложность доказать невозможно.
- Таким образом, получается, что существует три группы высказываний: истинные, ложные и те-которые-ХЗ.
- В доказательстве от противного мы убеждаемся, что исходное предположение "Х — ложно" неверно.
- Однако это не означает, что раз "Х — ложно" неверно, то обязательно Х должно быть истинно.
- По пункту 5 это, строго говоря, означает, что либо Х — истинно, либо истинность Х доказать невозможно.
- Последний вариант также возможен, поэтому в доказательстве от противного его надо исключать. А никто этого не делает. Бида...