Человеческие умы более подвержены мнениям, чем науке, и поскольку каждая наука имеет свои особые принципы, отличающиеся от таковых из других наук, человеческий интеллект требует и ищет общее знание и общие принципы. Раймунд Луллий (1235 - 1315)
Следует поставить перед собой цель изыскать способ решения всех задач… одним и притом простым способом. Д'Аламбер (1717-1783)
Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришёл к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается всё, что человечество создало в области науки и искусства. Генрих Нейгауз (1888-1964)
Здравствуете, уважаемые читатели. Сегодня мы поговорим об универсальном алгоритме и категории Ничто.
«Поиск универсального алгоритма» - это направление исследований, заключающееся в поиске метода мышления, черпающего знания о реальности из самого себя. О поисках этого метода известно еще со времен античности, о нем упоминали Платон и Аристотель, а очередной всплеск интереса к нему возник в период Средневековья. Так, теолог Раймунд Луллий в книге «Великое и Окончательное искусство» Ars Magna et Ultima [1] предложить создать логическую счётную машину, которая бы на основе универсальных категорий (понятий) выводила новые. Многие математики рассматривают устройство Луллия как первую в истории попытку создать машину, способную выполнять ряд логических операций, осуществляемых человеческим мозгом. Луллий хотел свести процесс исследования реальности к механическому комбинированию небольшого количества исходных аксиом, отражающих отдельные фрагменты этой реальности. Он считал, что в этих аксиомах неявно содержатся все истины науки, и что их можно извлечь из них путём чистого мышления, без обращения к опыту.
Трудно сказать насколько эффективно использовалась его машина, но, тем не менее, попутно Луллий сделал целый ряд открытий. Задолго до Буля он сформулировал идею создания «алфавита для мыслей», выдвинул принципы логического анализа, изложил свои соображения об эвристических и дедуктивных методах. Помимо машин он использовал теорию графов, табличные и графические формы представления информации. Все это дает основание считать Луллия первооткрывателем формальных логических методов, а его машину — предшественником современных компьютеров [2].
Немецкий математик Лейбниц, познакомившись с трудом Луллия, в 1666 г. выпустил работу «О комбинаторном искусстве», где выдвинул идею о возможности создания универсального языка, который позволит преобразовать все научные рассуждения и теоретические открытия в математические расчеты и станет универсальной теорией научного мышления и общей теорией открытия. Лейбниц пытался найти такую форму математического исчисления, которая смогла бы заменить все логические высказывания алгебраическим оперированием над словами и символами, и верил, что когда-нибудь решение всех житейских и абстрактных споров будет начинаться с фразы: «Давайте посчитаем». Но, несмотря на многочисленные попытки, Лейбниц так и не смог открыть всеобщий метод познания.
Постепенно интерес к поиску универсального алгоритма стал угасать, например, в книге Джонатана Свифта «Путешествия Гулливера» (1726 г.), который задумывал свое произведение как жесткую сатиру, есть пародия на изобретение Луллия – это машина открытий острова Лапута.
Во второй половине XIX века математическая логика (логическое исчисление), получила интенсивное развитие. Благодаря классическим работам Буля, Фреге, Рассела, Уайтхеда, Гильберта она оформилась в самостоятельную дисциплину. Гениальный математик XX столетия Давид Гильберт, воодушевленный поразительными успехами этой науки, выступил с программой финитарного (интуитивно ясного) обоснования математики. Он поставил перед учеными задачу доказать справедливость всех математических утверждений, включая первичные аксиомы, средствами самой математики. Гильберт считал, что непротиворечивость всех принципов и вытекающих из них заключений, которые составляют теоретический фундамент геометрии и алгебры, можно аргументировать, не используя числового опыта. Проблема, которую нужно было решить, получила у Гильберта следующую формулировку: «Построить алгоритм, строящий необходимый алгоритм решения любой точно поставленной задачи». Таким образом, Гильберт призывал ученых разработать метод научного познания, который включал бы в себя средства проверки своих теоретических положений. Это было продолжение лейбницевского проекта изобретения универсального алгоритма на новой стадии развития науки [3]. Для Гильберта неудача Лейбница в создании такого алгоритма не была свидетельством его принципиальной недостижимости, он расценивал эту неудачу лишь как временный кризис. Гильбертовская программа не осталась незамеченной, крупнейшие математики XX века, уверенные в том, что любое математическое утверждение можно доказать или опровергнуть без эмпирических данных, приступили к выполнению этой программы.
Однако в 1931 году произошло событие, которое заставило ученых расстаться с этой уверенностью, в этом году 25-летний математик Венского университета Курт Гедель (1906 - 1978) выпустил в печать свою эпохальную статью «О формальных неразрешимых предположениях Принципов Математики и родственных систем», в которой сформулировал «Теорему о неполноте»*, согласно которой, в любой формальной аксиоматической системе можно сформулировать утверждение, которое в этой системе нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Подобной системой может быть любая научная теория, состоящая из определенно числа каких-то принципов, с единой точки зрения объясняющих то или иное явление. В качестве примера можно привести континуум-гипотезу, которая не может быть ни доказана, ни опровергнута в рамках стандартной аксиоматики теории множеств. Результат, полученный Геделем, продемонстрировал невозможность универсального алгоритма Лейбница-Гильберта.
Таким образом, при помощи «Теоремы Геделя о неполноте» был получен формальный запрет на существование универсального алгоритма. Но, несмотря на запрет, идея его поиска продолжала будоражить умы интеллектуалов, и в 1942 г. выходит роман Германа Гессе «Игра в бисер», над которым автор работал более 10 лет, и в котором рассказывается о некой игре, представляющей собой искусство сочинения метатекста, синтез всех отраслей искусства в одно, универсальное искусство. В романе не приводится точного описания правил игры. Цель игры состоит в том, чтобы найти глубинную связь между предметами, которые относятся к совершенно разным на первый взгляд областям науки и искусства, а также выявить их теоретическое сходство. Например, концерт Баха представить в виде математической формулы. Как писал об игре Гессе: «Эти правила, язык знаков и грамматика самой Игры суть не что иное, как высокоразвитая тайнопись, в создании которой участвуют многие науки и искусства, в особенности же математика и музыка (соответственно музыковедение), и которая способна выразить и связать друг с другом смыслы и результаты почти всех научных дисциплин». В 1946 году Гессе был награждён Нобелевской премией по литературе (в том числе и за это произведение). Интересные мысли о правилах «Игры в бисер» можно почерпнуть здесь [4].
По сути роман «Игра в бисер» Германа Гессе хоть и в художественной форме, но все же, является продолжением идей Луллия-Лейбница-Гильберта о возможности создания универсального алгоритма (языка), который позволит на новом уровне понимания объединить между собой все существующие дисциплины.
Вернемся к категории Ничто. Итак, с одной стороны мы имеем формальный запрет на существование универсального алгоритма в виде «Теоремы о неполноте», а, с другой стороны, у нас есть неформализуемая категория Ничто, которая, как было показано в предыдущих статьях, имеет свои понятия-аналоги в музыке (пауза или тишина), в математике (нуль, пустое множество), в теории строения вещества (кротовая нора), и, которая «незримо» присутствует во всем и сама по себе обладает свойством универсальности, и это вселяет некоторый оптимизм и дает почву для дальнейших размышлений.
* Полнота аксиоматической теории – логико-методологическое требование, предъявляемое к аксиоматически построенным теориям и заключающееся в том, что в данной аксиоматической, формальной системе должны быть доказаны (т.е. выведены из аксиом) все истинные положения этой теории.
1. Кудрявцев А.В. Блистательный мастер Раймунд Луллий.
2. Леонид Черняк. Шесть веков истории логических машин.
3. Новиков Н.Б., Новая теория гениальности, М. 1996 г.