Можете ли Вы дать определение слову "Всё"? Сначала может показаться, что это просто. На первый взгляд. На второй же взгляд покажется, что без тавтологии и "масла масляного" не обойтись. Обратиться к философии - она будет орудовать высокими категориями, но без должной строгости.
Что же на этот счёт скажет сама математика? Чтобы получить от неё ответ, надо разделить вопрос на две части:
1) Что такое "ВСЁ"?
2) Существует ли это "ВСЁ"?
Для ответа на первый вопрос обратимся к наивной теории множеств. Основным её создателем является немецкий математик Геогр Кантор. Его работы послужили основой для строгой формализации математики.
Теперь математика со всем разнообразием её разделов формулируется на языке множеств. Простыми словами, множество - это совокупность, набор чего угодно - каких-то элементов. В качестве элементов обычно служат математические объекты, но, вообще говоря, элементом может быть АБСОЛЮТНО любой объект.
Когда теория множеств только-только появилась, считалось, что можно мысленно представить любое множество. Для этого достаточно лишь указать, по какому правило оно формируется. Поэтому фраза "множество, содержащее всё, что угодно" никого не смутила. Она и является синонимом слова "ВСЁ".
Теперь второй вопрос - существует ли такое множество? Вроде бы, в чём проблема - просто каждый объект принадлежит ему, и все вместе они образуют "ВСЁ". Но проблема есть.
Сам Георг Кантор в 1891 году доказал, что, какое бы множество вы не представили, всегда найдётся множество, большее по размеру. Если представить "ВСЁ", то должно найтись нечто большее, чем "ВСЁ". Но тогда последнее должно содержаться в первом - часть должна быть больше целого. А это как-никак противоречие. Даже понятие "бесконечность", которое могли бы использовать для решения проблемы философы, не спасает - часть не может быть больше целого (хотя равна по размеру быть может, но это не наш случай).
Делать нечего - от понятия "ВСЁ" придётся отказаться. Его просто нет. И это строго доказывается. Именно поэтому математике нужна строгость - сказать можно всё что угодно, но, если строго не проверить, что можно упустить противоречие. И таких примеров исправленных противоречий в математике полным-полно.