Всем привет!
Сегодняшняя пачка задачек небольшая, но весьма древняя – им более 2 тысяч лет. Известно даже имя математика, который их тогда и решил – это Евклид. И задачки эти посвящены так называемым «совершенным числам», то есть таким, которые равны сумме всех своих делителей. Например, 6 = 1+2+3. Или 28 = 1+2+4+7+14. Вот такая сегодня математическая археология ->
Задачка 1. Евклид доказал, что если 2n - 1 - простое число, то 2(n - 1) * (2n - 1) - совершенное (n - натуральное число, само собой). Получится ли нам самостоятельно доказать этот факт? Умнее ли мы Евклида или же всё ещё нет?
Задачка 2. Доказать, что все чётные совершенные числа имеют вид 2(n - 1) * (2n - 1), где 2n - 1 - простое.
Задачка 3. Доказать, что нечётных совершенных чисел не существует.
Шучу! Не буду вас мучить совершенными нечётными числами. Вот что про них пишет Википедия: Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует.
Удачи в математически-археологических упражнениях!
