Всем привет!
Сегодня предлагаю вам заключительную часть текста про прямую OI — для самых-самых. Первые две части можно прочитать по ссылкам: этой и этой.
Сначала я предполагал, что сегодня докажу в тексте несколько очень содержательных утверждений, но постепенно разбираясь с ними понял, что про каждое из них можно было бы написать отдельную статью с перечислением всех фактов, которые тесно переплетены в доказательствах. В результате решил, что ограничусь формулировками
и кое-какими комментариями, а доказательства появятся когда-нибудь потом в других статьях. Поэтому сегодняшнюю публикацию можно воспринимать, с одной стороны, просто как набор забавных фактов, а, с другой стороны, как набор очень содержательных задач. В действительности, у каждого (ну почти каждого) из приведенных утверждений есть вполне себе элементарное доказательство, правда, не проливающее свет на суть происходящего...
Итак, приступим.
Прямая OI и точка Фейербаха
Есть несколько забавных утверждений, связывающих прямую OI с точкой Фейербаха. Напомню, что точкой Фейербаха называется точка касания вписанной окружности треугольника с окружностью девяти точек.
Мы, как и в предыдущих частях, рассматриваем треугольник ABC, точки касания вписанной окружности со сторонами BC, CA и AB обозначаем D, E и F соответственно.
Утверждение 13. Прямые, симметричные OI относительно сторон треугольника DEF, проходят через точку Фейербаха треугольника ABC.
Как вы, наверное, помните, прямая OI является прямой Эйлера треугольника DEF, поэтому прямая OI проходит через ортоцентр треугольника DEF, а значит если ее отразить относительно сторон треугольника DEF, образы пересекутся на описанной окружности. Для этой точки прямая OI является прямой Штейнера относительно треугольника DEF. По-моему, это очень красиво. Однако, это еще не все...
Утверждение 14. Прямые, симметричные OI относительно сторон серединного треугольника треугольника ABC, проходят через точку Фейербаха треугольника ABC.
То есть прямая Штейнера точки Фейербаха относительно серединного треугольника тоже совпадает с OI.
Оба утверждения являются следствиями теорем Фонтене. Если вы не знаете о чем я, то можете прочитать формулировки тут.
Еще одно замечательное свойство тоже следует из теорем Фонтене такое.
Утверждение 15. Для любой точки P на прямой OI описанная окружность педального треугольника проходит через точку Фейербаха.
Впрочем доказать это можно и иначе. Намекну лишь на круг фактов с этим связанных. Если взять прямую, проходящую через O, то педальные окружности всех точек на этой прямой проходят через фиксированную точку плоскости. Эта точка есть центр симметрии гиперболы, в которую прямая перейдет при изогональном сопряжении. В нашем случае точка Фейербаха это центр симметрии гиперболы Фейербаха — равнобокой гиперболы, проходящей через A, B, C, H и I. Точка Фейербаха в этом случае является точкой Эйлера–Понселе четырехугольника ABCI, то есть окружности девяти точек треугольников ABI, BCI, ACI и и ABC пересекаются в точке Fe. Но это, конечно, тянет тоже на отдельный разговор...
В завершении хочу предложить вам посмотреть на задачу со всероссийской олимпиады 2012-го года под номером 10.8 очень тесно связанную с обсуждавшейся тематикой. (Сохранены обозначения, использовавшиеся на олимпиаде.)
Утверждение 16. Точка E — середина отрезка, соединяющего ортоцентр неравнобедренного остроугольного треугольника ABC с его вершиной A. Вписанная окружность этого треугольника касается сторон AB и AC в точках C' и B' соответственно. Докажите, что точка F, симметричная точке E относительно прямой B'C', лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
Попробуйте найти тут точку Фейербаха...
Автором этой задачи является Лев Емельянов, он же автор следующего замечательного свойства, которое я тоже оставляю без доказательства.
Утверждение 17. Пусть в прежних обозначениях точка D' симметрична точке D относительно EF. Аналогично определим точки E' и F'. Тогда точки пересечения AD' с BC, BE' с AC и CF' с AB лежат на прямой OI.