Что в первую очередь приходит Вам в голову, когда Вы слышите фразу "математические константы"? Готов поспорить, что это число Пи, которое известно, наверное, каждому человеку, не прогуливавшему математику в средней школе. Конечно, ведь Пи - это отношение длины окружности к её диаметру, значит, без этой константы не обходится ни одно решение задачи об окружностях. Да и вычисление знаков числа Пи давно стало неким подобием "спорта для компьютеров".
Пи - это хорошо, ну а какая вторая константа вертится у Вас в голове? Скорее всего это число Эйлера, хотя наиболее часто оно известно под другим названием: "йеээээ!" Что же это за число такое и нужно ли оно тем, кто не занимается в обычной жизни дифференциальным исчислением?
Перенесёмся в XVII век, когда швейцарский математик Якоб Бернулли (один из основателей теории вероятностей и математического анализа) занялся одной интересной задачей о процентном доходе.
Предположим, что у нас есть некоторая исходная сумма размером в 1 условную единицу (это может быть любая денежная единица или какой-либо другой ресурс) и начисление 100% годовых. Если капитализация процентов происходит один раз в год (в конце года), то итоговая сумма равна 2 у.е. Если начисление процентов происходит 2 раза в год (при сложных процентах), то итоговая сумма 1*1,5*1,5=2,25 у.е.
Если капитализация происходит n раз в год, то итоговая сумма равна
Данное выражение очень хорошо знакомо тем, кто в своё время изучал основы математического анализа! Главный вопрос - что происходит при неограниченном увеличении числа n? Другими словами, что происходит с итоговой суммой, если начисление процентов будет происходить постоянно (непрерывно)? Вообще говоря, ожидать можно БЫЛО БЫ одного из этих результатов:
1. Итоговая сумма стремилась бы к бесконечности
2. Итоговая сумма стремилась бы к единице
3. Итоговая сумма стремилась бы к какому-то конкретному конечному значению
4. Итоговая сумма ни к чему бы не стремилась, при каждом увеличении числа n на единицу колеблясь в какую-то сторону
Как ни трудно догадаться (хотя доказательство этого факта коротким не назвать), верным является вариант под номером 3: при непрерывном начислении процентов итоговая сумма равна числу e.
Приблизительно e равно 2,718...
Число e указывалось до Бернулли и другими математиками, но впервые именно он указал на его особое значение, обнаружив в данной задаче. Однако роль числа Эйлера не исчерпывается задачей о сложных процентах, оно имеет огромное значение в математике. Часто рассматривается такая функция:
Данная функция носит название экспоненты и является разновидностью показательной функции. Часто экспонентой ошибочно называют само число e. Экспонента, умноженная на константу, является единственной непрерывно дифференцируемой функцией, которая равна своей производной. Кроме того, без экспоненты невозможно представить сегодня решение дифференциальных уравнений, ведь через неё выражаются решения линейных однородных диффур.
Число Эйлера часто встречается в формулах математического анализа, позволяя записывать их в удобном для использования виде. Огромное эстетическое удовольствие как знатоки, так и любители математики получают от тождества Эйлера, в котором участвует данная константа:
Тождество Эйлера связывает в одной формуле пять математических констант,играющих ключевую роль в РАЗЛИЧНЫХ разделах математики:
0 - одна из ключевых констант АРИФМЕТИКИ, нейтральный элемент сложения и поглощающий элемент умножения.
1 - также одна из ключевых констант АРИФМЕТИКИ, нейтральный элемент умножения.
Число Пи - знаменитая константа ГЕОМЕТРИИ, отношение длины окружности к её диаметру.
Мнимая единица i - одна из важнейших констант АЛГЕБРЫ, позволяющая расширить поле действительных чисел до поля комплексных чисел.
Число Эйлера e - главный герой текущей статьи, важнейшая константа МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.
Учитывая всё это, сомневаться в том, что тождество Эйлера - пример глубокой математической красоты, невозможно.