Что значит возвести число a в степень n? Это значит, что нужно перемножить это число само на себя n-ное количество раз. Например, число 2, возведенное в степень три, будет выглядеть, как 2*2*2 и равняться 8-ми. И у этих степеней есть свои свойства.
Свойства степеней с натуральным показателем
- Основное свойство степени, или свойство произведения степеней применяется при умножении 2х степеней m и n,которые имеют одинаковое основание a. Данное свойство может быть применимо и к произведению трех и более степеней. То есть, если мы захотим, например, возвести число 5 в степень 2 и умножить это на число 5 в степени 6, то нам нужно будет просто сложить степени, и мы получим 5 в степени 8.
a^m⋅a^n=a^(m+n)
Пример: 5^2⋅5^6=5^8
- Свойство частного степеней применяется при делении степеней m и n с одинаковым основанием а. В результате основание остается таким же, а из показателя степени в числителе вычитается степень в знаменателе. Возьмем, к примеру, число 15 в девятой степени и поделим его на 15 в третей степени. Чтобы не делать долгих вычислений, воспользуемся свойством частного и вычтем из степени 9 степень 3, и мы получим 15 в шестой степени.
a^m:a^n=a^(m−n)
Пример: 15^9:15^3=15^6
- Свойство возведения степени в степень предполагает перемножение степеней, при этом основание остается прежним. Здесь все просто и логично: у нас есть некое число а возведенное в степень 4, и все это нам нужно возвести еще и в третью степень. Пользуясь свойством, мы получаем а в двенадцатой степени.
(a^m)^n=a^(m⋅n)
Пример: (a^4)^3=a^12
Не каждый студент может себе позволить за семестр в ВУЗе отдать 100 000 ₽. Но круто, что есть гранты на учебу. Грант-на-вуз.рф – это возможность учиться на желанной специальности. По ссылке каждый получит бонус от 300 ₽ до 100 000 ₽ – грант-на-вуз.рф
- При применении свойства степени произведения, каждый множитель возводится в степень, а полученные результаты перемножаются между собой. Также это свойство можно применять и справа налево.
(a · b)^n = a^n · b^n
Пример: (3 · 4)^5=3^5 · 4^5
- Применяя свойство частного в натуральной степени, и делимое и делитель возводят в степень, а полученный числитель делят на знаменатель.
(a : b)^n = a^n : b^n
Пример: (2 : 7)^6=2^6 : 7^6
- Свойства сравнения степени с нулем:
- если a>0, то при любом натуральном n, a^n>0. Возьмем а равное 6 и n равную натуральному числу 2, следовательно, 6 в степени 2 будет больше нуля;
- при a=0, a^n=0;
- если a<0, и показатель степени будет четным числом 2·m, то a^(2⋅m)>0. Например, а= 3, m=1, делаем из степени четное число (умножаем 2 на 1). Следуя этому свойству, получаем, что 3 в степени 2 больше нуля;
- если a <0, и показатель степени будет нечетным числом 2⋅m−1, то a^(2⋅m−1)>0.
Степень с отрицательным показателем
Если нам нужно возвести число а в отрицательную степень n, то мы делим 1 на число в той же степени, только положительной. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени. Другими словами, при отрицательной степени выражение переворачивается.
Свойства степеней с целыми показателями
Тут все просто: для степеней с положительными целыми показателями свойства будут такими же ка вышеперечисленные, так как эти показатели будут являться натуральными. Эти же свойства применяются и для отрицательных и равных нулю показателей степеней. Одно важное замечание: основание не должно ровняться 0.
Напоминаем про сервис грант-на-вуз.рф. Не упусти свой шанс изучать то, что тебе нравится. Ну или просто сэкономить на учебе. Ты точно получишь от 300 ₽ до 100 000 ₽, перейдя по ссылке грант-на-вуз.рф!
Свойства степеней с рациональными и иррациональными показателями
Они будут такими же, как и свойства для степеней с целыми показателями. Но здесь должно соблюдаться одно правило: основания таких степеней должно быть больше нуля.
Спасибо, что прочитали статью. Не забывайте про подписку на канал, а также рекомендую почитать канал наших друзей:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac — последние научные достижения и лучшие образовательные практики.
Хорошего дня и не болейте.