Приветствую всех!
Сегодня я расскажу об одной любопытной задаче вероятностного характера. У нее есть наивное решение, точное решение и правильное решение - и это весьма необычно. Итак...
Предположим, что человек играет в такую игру: с равными шансами его капитал либо увеличивается на 10%, либо уменьшается на 10%. И так много-много раз. Каково среднее значение капитала за данное число шагов, например, за тысячу?
Очень жизненная задача, кстати. Акции, инвестиции, вот это вот все.
Наивное рассуждение таково. "Что такое равные шансы?" - спросит человек, немного знакомый с теорией вероятностей. Это на большом интервале доля исходов приблизительно равная. Стало быть, примерно пополам разделятся выигрыши и проигрыши. Так? А ведь выиграть и потом проиграть по 10% - это проиграть (1%). И в другом порядке - тоже (кстати, это само по себе может быть сюрпризом - проигрывать-то проще, чем выигрывать, даже если шансы равны и думать не надо - но об этом потом отдельно поговорим). Выходит, что за тысячу партий будет примерно по 500 пар "выиграл-проиграл", и на каждой теряем один процент - в общем, ничего радостного. Проиграет этот игрок все деньги.
Точное решение другое. За одну партию человек в среднем при своих - выигрыш и проигрыш равны по величине и шансы у них равные. Сыграв N партий, он имеет некоторое среднее X - а еще одна партия его не меняет. Далее по индукции получаем, что средний капитал равен начальному, то есть средний выигрыш - нуль.
Я специально не пишу детально - кто хочет, восстановит доказательство и получит удовольствие, а кто не хочет - на слово поверит.
Это решение точное, но правильным его не назовешь, и вот почему. Не поленитесь, напишите симулятор на вашем любимом языке программирования или в любимой электронной таблице. Увидите, как виртуальный игрок раз за разом спускает все деньги.
Давайте же выясним, в чем дело. А дело в траекториях. Тысяча партий порождает последовательность из нулей и единиц - траекторию. Все траектории имеют одну и ту же (очень маленькую) вероятность и приносят какой-то выигрыш, возможно, отрицательный. Вклад - это произведение выигрыша на вероятность. Среднее - сумма всех вкладов.
Так вот: некоторые траектории приносят очень много. Например, если все партии выиграны. Или все, кроме одной - таких траекторий все-таки тысяча, а не одна. Или две проиграны. Вклад таких траекторий значителен, хотя их суммарная вероятность невелика. А симметричные им траектории - например, если все партии проиграны - не компенсируют большой вклад своих напарниц. Если ты разорен на сотом, скажем, ходу - какая тебе разница, что будет дальше? Все траектории, в которых капитал упал в сто, скажем, раз и больше не поднялся, дают почти нулевой вклад.
Итак, сравнительно большое среднее обусловлено вкладом очень редких, практически невозможных исходов. Правильным оказывается наивное рассуждение! Почти наверняка игрок разорится - хотя теоретически он должен в среднем остаться при своих.
Такой принцип часто встречается и мы о нем еще поговорим. Буду рад, если Вы подпишетесь на канал. До связи!