Начнём с самого важного: что такое модуль? Напомню, что модуль числа — это просто то же самое число, но взятое без знака. И не важно какой знак перед числом: плюс (+) или минус (-). Да, плюс не ставится, обычно.
Пример: |-5| = 5 и |61,5| = 61.5. Таким образом, отметим для себя, что модули противоположных чисел равны: |−a|=|a|.
Ещё один важный факт: модуль никогда не бывает отрицательным. Какое бы число мы ни взяли — хоть положительное, хоть отрицательное — его модуль всегда оказывается положительным (или в крайнем случае нулём). Именно поэтому модуль часто называют абсолютной величиной числа.
Кроме того, если объединить определение модуля для положительного и отрицательного числа, то получим глобальное определение модуля для всех чисел. А именно: модуль числа равен самому этому числу, если число положительное (или ноль), либо равен противоположному числу, если число отрицательное. Кратко: |a| = -a если a < 0 и |a| = a если a ≥ 0.
Ещё есть модуль нуля, но он всегда равен нулю. Кроме того, ноль — единственное число, которое не имеет противоположного.
Теперь немного усложним задачу. Например: |2x+1|=5
Тут два варианта: либо под знаком модуля стоит положительное выражение, и тогда|2x+1|=2x+1, либо это выражение всё-таки отрицательное, и тогда |2x+1|=−(2x+1)=−2x−1.
В первом случае наше уравнение перепишется так: |2x+1|=5⇒2x+1=5
И внезапно получается, что подмодульное выражение 2x+1 действительно положительно — оно равно числу 5. Т.е. мы можем спокойно решать это уравнение — полученный корень будет кусочком ответа: 2x+1=5⇒2x=4⇒x=2
Особо недоверчивые могут попробовать подставить найденный корень в исходное уравнение и убедиться, что действительно под модулем будет положительное число.
Теперь разберём случай отрицательного подмодульного выражения:
| 2x+1 | = 5 и 2x+1 < 0 ⇒−2x−1=5⇒2x+1=−5
Снова всё чётко: мы предположили, что 2x+1<0, и в результате получили, что 2x+1=−5 — действительно, это выражение меньше нуля. Решаем полученное уравнение, при этом уже точно зная, что найденный корень нас устроит: 2x+1=−5⇒2x=−6⇒x=−3
Итого мы вновь получили два ответа: x=2 и x=3.
Избавление от знака модуля
Пусть нам дано уравнение |f(x)|=a, причём a≥0 (иначе, как мы уже знаем, корней нет). Тогда можно избавиться от знака модуля по следующему правилу: |f(x)|=a ⇒ f(x) = ±a
Таким образом, наше уравнение с модулем распадается на два, но уже без модуля. Отдельно рассмотриваем, когда справа стоит часть с плюсом, и отдельно — когда с минусом.
А теперь рассмотрим вот такое уравнение: |3x−2|=2x
Это уравнение принципиально отличается от всех предыдущих. Чем? А тем, что справа от знака равенства стоит выражение 2x — и мы не можем заранее знать, положительное оно или отрицательное.Как быть в таком случае? Во-первых, надо раз и навсегда понять, что если правая часть уравнения окажется отрицательной, то уравнение не будет иметь корней — мы уже знаем, что модуль не может быть равен отрицательному числу. А во-вторых, если права часть всё-таки положительна (или равна нулю), то можно действовать точно так же, как раньше: просто раскрыть модуль отдельно со знаком «плюс» и отдельно — со знаком «минус».
Общий алгоритм:
1. Приравнять каждый модуль, имеющийся в уравнении, к нулю. Получим несколько уравнений;
2. Решить все эти уравнения и отметить корни на числовой прямой. В результате прямая разобьётся на несколько интервалов, на каждом из которых все модули однозначно раскрываются;
3. Решить исходное уравнение для каждого интервала и объединить полученные ответы.
- Помощь по физике, математике, программировании, информатике и другим техническим предметам найдете в Репетитор | IT mentor