Всем привет!
Сегодня разбираем вторую геометрическую задачу со Всероссийской олимпиады 10-го класса прошлого года. Она была значительно проще первой и предлагалась во второй день под номером 6. Все геометрические задачи прошлогоднего финала можно посмотреть тут.
Следить за публикациями можно на телеграм-канале Олимпиадная геометрия и в сообществе вконтакте, там же можно слегка влиять на контент.
Вспомним условие задачи.
Мне эта задача показалась гораздо симпатичнее 6-ой задачи в 9-ом и 11-ом классах, не понимаю, почему не продублировали ее. Давайте разбираться.
На сторонах треугольника построены прямоугольные треугольники. Практически первое желание — соединить их вершины с серединами сторон. Во-первых, сразу использовать прямоугольность, а во-вторых, заполучить среднюю линию треугольника ABC, которая, к слову, делит биссектрису BL пополам. Биссектрису и окружность сотрем, оставим пока только самое важное.
Пусть M — середина AB, а N — середина BC. Тогда из условия заключаем, что ∠AMP=2∠ABP=∠C и ∠CNQ=2∠CBQ=∠A. Вот и оставим эту информацию на картинке.
Кроме того, отметим точку X пересечения MN и PQ. Собственно наша цель доказать, что она является серединой биссектрисы, то есть что она попросту лежит на биссектрисе.
Ну так видно, что PM и QN параллельны (простой счет углов), поэтому треугольники PMX и QNX подобны, а коэффициент подобия есть ни что иное, как отношение половинок сторон треугольника ABC. Ну значит MX/NX=BM/BN и точка X лежит на биссектрисе.