Всем привет!
Сегодня разбираем вторую геометрическую задачу с Жаутыковской олимпиады этого года. Напоминаю, что следить за публикациями можно на телеграм-канале Олимпиадная геометрия. Кроме того, теперь можно следить за ними и в сообществе вконтакте.
Задача была такой.
Довольно громоздкая картинка... Как всегда я предлагаю исследовать картинку частями, не рисуя всю информацию сразу. Например, при построении точки R требуется очень мало. Хотелось бы про нее понять побольше. Давайте оставим на картинке только ее и необходимые для ее определения элементы.
Теперь уж все про точку R понятно! Отрезок прямой NI, лежащий внутри полосы, делится точкой I пополам, поэтому из симметрии прямая NR тоже является касательной к вписанной окружности!! Это ключевое наблюдение в задаче. Дальше она раскручивается очень быстро.
Точка S лежит на описанной окружности треугольника RMN, поэтому
∠ NMS= ∠ NRS= ∠ (SR, ℓ)
а значит прямые MS, ℓ и окружность, описанная около треугольника RIM пересекаются в одной точке. Значит прямая MS перпендикулярна прямой ℓ и является серединным перпендикуляром к отрезку AB.