В мифах Древней Греции посох, обвитый двумя змейками, принадлежал Гермесу. Гермес же - бог торговли, хитрости и воровства, иногда выступающий в роли посланника. При чём тут медицина - непонятно.
Давайте по порядку.
Сначала кадуцей был символом послов (что логично). Потом его стали присваивать себе разные отрасли, так или иначе связанные с деятельностью Гермеса.
Например, алхимики. Они опирались на Герметику - древнеегипетское учение о тайных знаниях, которыми обладал бог Тот. А Тот - ни кто иной, как египетское альтер-эго Гермеса.
И что потом?
А потом подключились фармацевты. Близкая к алхимии наука - фармация, а от неё и до медицины недалеко. В 1516 году кадуцей появился на книге о медицине. Хотя, неизвестно, с какой целью - возможно, он был там как символ коммерции. Однако, после этого изображение стало быстро распространяться в медицине.
Есть ещё кое что: хоть в античности кадуцей и не был общепринятым символом медицины, его почему-то использовали офтальмологи. Наверное, потому что в некоторых легендах Гермес с помощью посоха возвращал людям зрение.
Теперь этот символ не только ассоциируется с медициной, но и является официальным. Например, в России его использует фонд медицинского страхования с 2007 года. А вот Америка изображает его эмблемой службы здравоохранения примерно с 1860-го года. Также, как и некоторые другие страны.