Найти в Дзене
Эйлер
2 подписчика

Плавающая точка М: стереометрия и матанализ в 14 задаче ЕГЭ.

17
1 мин
Пусть дан правильный тетраэдр со стороной 8, через который проходит сечение параллельно сторонам CD и AB.Причем проходит это сечение через некоторую точку М, лежащую на стороне CA. А) Докажите, что, независимо от положения точки М, сечение - прямоугольник.
Б) Исследуйте зависимость площади сечения от расположения точки М и найдите максимальную площадь сечения. Изобразим наш правильный тетраэдр и построим сечение согласно условиям: Итак, сечение проходит через точку М, МК и FN параллельны CD , а KF и MN параллельны AB, то есть и сечение MNFK параллельно прямым AB и CD.
Если бы MK и FN не были бы параллельны CD, то сечение - трапеция, но поскольку по построению все противоположные стороны попарно параллельны, то это сечение - как минимум параллелограмм.Если мы покажем,что какие-то 2 противоположные стороны равны, то гарантированно сечением будет прямоугольник. Теперь вспомним, что у нас правильный тетраэдр со стороной 8, то есть абсолютно все его грани - одинаковые равносторонние треуг

Задача:
Пусть дан правильный тетраэдр со стороной 8, через который проходит сечение параллельно сторонам CD и AB.Причем проходит это сечение через некоторую точку М, лежащую на стороне CA.

А) Докажите, что, независимо от положения точки М, сечение - прямоугольник.
Б) Исследуйте зависимость площади сечения от расположения точки М и найдите максимальную площадь сечения.

Изобразим наш правильный тетраэдр и построим сечение согласно условиям:

MNFK - наше сечение. M' - для примера показываем аналогичное сечение при другом расположении точки M. рис.1
MNFK - наше сечение. M' - для примера показываем аналогичное сечение при другом расположении точки M. рис.1

Итак, сечение проходит через точку М, МК и FN параллельны CD , а KF и MN параллельны AB, то есть и сечение MNFK параллельно прямым AB и CD.
Если бы MK и FN не были бы параллельны CD, то сечение - трапеция, но поскольку по построению все противоположные стороны попарно параллельны, то это сечение - как минимум параллелограмм.Если мы покажем,что какие-то 2 противоположные стороны равны, то гарантированно сечением будет прямоугольник.

Теперь вспомним, что у нас правильный тетраэдр со стороной 8, то есть абсолютно все его грани - одинаковые равносторонние треугольники.Пользуясь этим условием и теоремой Фалеса ( или ее следствием, или можно подобием) получаем такую картинку.

Пусть точка М отстоит от точки А на какое-то произвольно взятое расстояние х. рис.2
Пусть точка М отстоит от точки А на какое-то произвольно взятое расстояние х. рис.2

Ну и отсюда 1001 способом можно показать,что MN=KF. Например, из равенства треугольников DKF и CMN. Значит, MNFK - прямоугольник,где бы не находилась точка M (естественно, на прямой CA). Доказали.

Теперь наглядно покажем, как будет меняться сечение и его площадь в зависимости от расположения точки М.

Если точка М расположена примерно в середине стороны AC, то так, "на глаз", чем правее для наблюдателя сечение, тем оно "ниже" и "шире", и наоборот, если уходить "влево". Причем, как было доказано ранее,все сечения - прямоугольники. рис.3
Если точка М расположена примерно в середине стороны AC, то так, "на глаз", чем правее для наблюдателя сечение, тем оно "ниже" и "шире", и наоборот, если уходить "влево". Причем, как было доказано ранее,все сечения - прямоугольники. рис.3

Короче говоря, неочевидно, какое же сечение будет самым большим по площади - может,узкое,но высокое, может, широкое, а может и "средненькое"..

Но нам известно с начальной школы, что площадь прямоугольника - это "одна сторона*другая сторона", и очевидно, что мы сможем выразить обе стороны "через икс" (смотри рисунок 2)

Опять же, вспомнив про подобие треугольников и тот факт, что все ребра = 8, получим: KF = 8-X, KM = X, а значит, площадь треугольника S(x)=x*(8-x)
Чтобы найти максимум нашей функции площади сечения от х, возьмём производную и найдем ее нуль/нули. S'(x) = 8-2x, S'(x) = 0 при x=4.

Это значит, что максимальное значение площади сечения будет при х=4.
Это значит, что максимальное значение площади сечения будет при х=4.

В результате Smax = S(4) = 16. Так как длина ребра 8, то самым "большим" сечением будет сечение, проходящее ровно через середину ребра CA. Можно вписывать ответ - 16.