Всем привет!
Сегодня продолжаем продолжаем традицию воскресных публикаций и разбираемся с замечательными фактами, относящимися к прямой проходящей через пару важнейших центров треугольника. Первую (базовую) часть информации на этот счет можно найти вот в этой моей статье. Напоминаю, что за публикациями можно следить на телеграм-канале Олимпиадная геометрия. Кроме того, с недавнего времени можно присоединиться и к сообществу сообществу вконтакте, где гораздо удобнее оставлять комментарии и поддерживать обратную связь.
Итак, приступим.
Прямая OI и гомотетии
Следующий кластер утверждений связан с тем, что окружности это, во-первых, гомотетичные фигуры, а, во-вторых, с тем, что с центром вписанной окружности связано очень много гомотетичных треугольников.
Утверждение 6. Прямая OI является прямой Эйлера треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности треугольника со сторонами.
Обозначим точки касания вписанной окружности треугольника со сторонами BC, CA и AB через D, E и F. Очевидно, треугольники DEF и IaIbIc гомотетичны. Чтобы доказать, что у них совпадают прямые Эйлера, в силу уже доказанного утверждения 4, достаточно проверить, что центр гомотетии лежит на прямой OI. Но это так, поскольку центр I описанной окружности треугольника DEF лежит на OI и центр описанной окружности треугольника IaIbIc по утверждению 4 тоже.
Утверждение 7. Прямая OI является прямой Эйлера треугольника с вершинами в серединах дуг описанной окружности треугольника.
Обозначим середины дуг BC, CA и AB описанной окружности треугольника ABC через A₁, B₁ и C₁ соответственно. Тогда треугольники точка I есть ни что иное, как ортоцентр треугольника A₁B₁C₁.
Утверждение 8. Прямые DA₁, EB₁ и FC₁ пересекаются в одной точке на прямой OI.
Они попросту пересекаются в центре гомотетии треугольников DEF и A₁B₁C₁.
Еще одно утверждение, тесно связанное с гомотетией выглядит так.
Утверждение 9. Пусть A₂, B₂ и C₂ точки касания полувписанных окружностей треугольника с дугами BC, CA и AB соответственно. Тогда прямые AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке, лежащей на прямой OI.
Это утверждение является следствием теоремы "о трех колпаках", которая формулируется следующим образом.
Теорема (о трех центрах гомотетий или о трех колпаках). Если композиция трех гомотетий является тождественным преобразованием, то их центры лежат на одной прямой.
Применяя это утверждение к полувписанной окружности, описанной окружности и вписанной окружности, заключаем, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ проходят через центр положительной гомотетии, переводящей вписанную окружность в описанную, а эта точка, конечно же лежит на OI.
Теперь нетрудно совместить два утверждения и получить, что и красные прямые на картинках выше и синие прямые пересекаются в одной точке!
Прямая OI и радикальные оси
Следующий комплекс утверждений касается радикальных осей. Это естественно, когда мы ведем речь о линии центров двух окружностей. Частично мы уже этого касались при доказательстве утверждения 5. Теперь давайте посмотрим на похожие утверждения.
Утверждение 10. Пусть прямые, проходящие через точку I перпендикулярно AI, BI и CI пересекают прямые BC, CA и AB в точках X, Y и Z соответственно. Тогда точки X, Y и Z лежат на одной прямой, перпендикулярной OI.
Для доказательства из простого счета углов можно заметить, что прямая XI касается окружности описанной около треугольника BIC (в точке I). Следовательно, верно равенство XI²=XB⋅XC. Значит точка X лежит на радикальной оси окружности описанной около треугольника ABC и окружности нулевого радиуса с центром в точке I. Аналогичное рассуждение проводится и для точек Y и Z, откуда заключаем, что точки X, Y и Z лежат на одной прямой перпендикулярной линии центров OI.
Абсолютно аналогично доказывается и следующее утверждение, только на этот раз надо рассмотреть радикальную ось вписанной окружности и окружности нулевого радиуса с центром в точке O.
Утверждение 11. Пусть серединные перпендикуляры к отрезкам OD, OE и OF пересекают прямые BC, CA и AB в точках X₁, Y₁ и Z₁ соответственно. Тогда точки X₁, Y₁ и Z₁ лежат на одной прямой, перпендикулярной OI.
Еще одно схожее по доказательству утверждение выглядит так.
Утверждение 12. Пусть касательная в точке A к описанной окружности треугольника пересекает прямую EF в точке X₂ и аналогично определяются точки Y₂ и Z₂. Тогда середины отрезков AX₂, BY₂ и CZ₂ лежат на одной прямой, перпендикулярной OI.
Из построения видно, что середина отрезка AX₂ является радикальным центром трех окружностей: описанной окружности треугольника, вписанной окружности треугольника и точки A (радикальная ось вписанной окружности и точки A — средняя линия треугольника AFE). Следовательно, три указанные середины все лежат на радикальной оси вписанной и описанной окружностей.
Продолжение следует...
В следующий раз обсудим некоторые утверждения, связанные с точкой Фейербаха и изогональным сопряжением.