В этой серии статей я понятным языком попытаюсь ответить на вопрос, почему 8д-куб = забандаженный флоппи-куб 4х4, а также четырехмерный кубик Рубика… Ничего не поняли? Не беда, даже если вы никогда не слышали о том, как собрать кубик Рубика, в конце серии вы сможете представить себе восьми(даже не четырех!)-мерный куб, а также как его вывернуть в пространстве, чтобы получить двумерный аналог известной головоломки кубик Рубика. Статьи будут интересны не только обычному простолюдину, но и опытному математику, ибо то, что я здесь напишу, не пишет нигде и никто (это мой личный математический труд, без преувеличения этого слова).
Для того, чтобы ответить на вопрос, как преобразовать 8д-головоломку в 2д мне придется провести вас через некоторое количество математических терминов, чтобы все было понятно уж всем =) Так что приступим!
ЧАСТЬ I. Что такое поле?
Начну с того, с чего надо начать статью по математике — с математического термина: наш термин - "поле". Это понятие потребуется нам в дальнейшем, и здесь я попытаюсь наглядно его объяснить наглядно через оранжевых псевдо-крокодилов =) Так что, даже если вам не особа интересна судьба многомерных выворачивающихся кубиков Рубика, а вы просто увидели данную графу и надеетесь услышать разъяснение, что же такое поле, то спешу успокоить - найдете =)
Поле — это такая штука, которой мы пользуемся каждый день на уроке математики, класса так после восьмого, но даже не знаем об этом. Проще говоря, это числа. Но почему только после восьмого?
Потому что не просто числа, а все числа (или хотя бы рациональные). Ученик пятого класса «всех» чисел не знает, согласитесь? =) Числа бывают:
Натуральные (ℕ)
Целые (ℤ)
Рациональные (ℚ)
Иррациональные (нет строгого математического символа для этого множества, в том числе и в юникоде, и в разных текстах его пишут по-разному, например, I)
Вещественные или действительные (ℝ)
Комплексные (ℂ)
Кватернионы (H)
Их отношение можно нарисовать так:
Определения числовых множеств и примеры их элементов:
1) Натуральные — используются при счете: 1, 2, 3, 4, 5…
2) Целые — натуральные, 0 и отрицательные, образованные вычитанием большего натурального из меньшего: …-2, -1, 0, 1, 2… (-1,5; -1,7 — это не целые числа, так как их невозможно получить, вычитая из натурального натуральное)
3) Рациональные — числа, порожденные делением целого на натуральное: -1,5; 0; 1; 100; 100,12345… (Рациональные включают в себя целые и, соответственно, натуральные)
4) Иррациональные — числа, выраженные бесконечной непериодической десятичной дробью, например, π ≈ 3,1415926535…. или √2 ≈ 1,4142135623….
5) Вещественные или действительные — все рациональные и иррациональные, взятые вместе.
6) Комплексные — числа, порожденные взятием корня из отрицательного числа. Примеры:
i = √(-1) - мнимая единица,
2i = 2*√(-1) -две мнимых единицы,
1,5i = 1,5*√(-1) - полторы мнимых единицы,
√5i+1,5 = √5*√(-1)+1,5 - сложное комплексное число с мнимой и действительной частью.
7) Кватернионы — эдакая надстройка над числами, когда (если говорить просто) числа объединяются в группы, над которыми производят операции как над одним целым (математическая матрица или вектор).
8,9,10…) Также есть еще октонионы, седенионы, и прочие обобщения и разновидности кватернионов, то есть групп, в которые объединяют действительные и комплексные числа, чтобы производить над ними разные сложные операции как над одним целым… Все это обширно используется в физике, а также компьютерных вычислениях, скажем, для того, чтобы нарисовать фантастическую черную дыру, через которую выворачивалось пространство в фильме Интерстеллар, или лаву на планете Мустафар из Звездных Воин.
Все это часть математики, и, если мы хотим породить новую (а мы этого очень хотим), то то, что мы породим, будет подчиняться всем этим структурам и как бы автоматически создавать их. Проще говоря, давайте обзовем какую-нибудь непонятную сущность (например оранжевого псевдо-крокодила) числом, определим, как эту сущность с себе-подобными складывать и умножать (вычитание и деление определятся автоматически как обратные), и тогда приведенные выше множества чисел, которые умные дядьки изучали и развивали много лет, сами определят, как на язык наших непонятных «сущностей» (то есть наших оранжевых псевдо-крокодилов) переводится фраза «один оранжевый псевдо-крокодил поделить на √2 частей»
На самом деле, забегая вперед, нашими «непонятными сущностями» и будут кубики, при чем не просто кубики, а именно многомерные кубики, о чем и гласит название статьи. Надеюсь, вы начинаете понимать, к чему было все это длинное вступление про множества чисел =) Мы будем кубики складывать, умножать и делить, извлекать из них корни, и, создав необходимый математический аппарат (который, как я и говорил, благодаря разным умным дядькам, простроится автоматически, как только мы выполним условия ввода нашей новой «непонятной сущности» в математику), мы сможем наконец преобразовать 8д-куб к 2д-флоппи кубу!
Собственно, чтобы выполнить эти «условия ввода новой сущности в математику», нам наконец надо поговорить о математических полях. Как я и говорил, множества чисел, то есть то, с чем мы имеем дело каждый день на уроке математики после 8-ого класса — это поля. Но не все. А именно рациональные, действительные и комплексные. Почему это так?
Потому что на элементы поля (то есть числа из данных множеств) накладываются строгие условия (или ограничения):
1) Группа над элементами поля коммутативна по сложению (+) и обязательно имеет нейтральный элемент;
2) Группа над элементами поля коммутативна по умножению (*) над ненулевыми элементами поля;
3) В группе над элементами поля выполняется дистрибутивность умножения относительно сложения.
А теперь простым языком =)
Понятие коммутативности и дистрибутивности на самом деле хорошо известна даже пятикласснику. Вспомните…
Свойство переместительности (коммутативности):
x*y = y*x
Например:
5*6 = 6*5
Свойство распределительности (дистрибутивности):
(x*y)+(x*z) = x+y*z
Здесь с примером все несколько сложнее: перед тем, как приводить наглядный пример для распределительного свойства, надо напомнить о том, в каком порядке выполняются арифметические операции… Да-да, это необходимо, сейчас поймете, почему. В детском садике, как правило учат, что внутри поля действительных, то есть вещественных чисел арифметическая операция «умножить» (*) выполняется ПЕРЕД арифметической операцией «сложить» (+). Не так ли? =)
Поэтому, я не могу написать, например,
(2*4)+(2*6) = 2 + 4*6, то есть 8+12=24,
ведь в действительности это не так, 6*8 ≠ 2*(10) и 8+12≠24, убедитесь в этом сами. А как надо? А надо раскрывать скобки, выполняя все * перед +, то есть так:
(2*4)+(2*6) = (2+4)*6 = 2*4 + 2*6
Так вот, условия, накладывающиеся на элементы полей можно перевести на обще-человеческий как-то так:
1) Оранжевых псевдо-крокодилов можно складывать при том что, X псевдо-крокодилов + Y псевдо-крокодилов (что бы это ни значило, и как бы эта операция сложения ни выглядела вживую — хоть сшивание этих крокодилов в сиамских близнецов!) — это то же самое, что Y + X, измеряя в тех же крокодилах.
2) Оранжевых псевдо-крокодилов можно умножать при том что, X псевдо-крокодилов * Y псевдо-крокодилов (что бы это ни значило, и как бы эта операция умножения ни выглядела вживую — хоть пришивание к каждой лапе псевдо-крокодила еще Y таких же крокодилов!) — это то же самое, что Y * X измеряя них же.
3) Оранжевых псевдо-крокодилов можно считать, записывая в виде них математические выражения с операциями + и *, при том, что обязательно сохраняются переместительное и распределительное свойства (коммутативность и дистрибутивность). То есть другими словами говоря не может быть такого, что мы сшили двух псевдо-крокодилов в одного, а потом вязли два таких сиамских близнеца и сшили и их вместе (то есть (1+1)*2), и в результате у нас получилась невероятная анатомическая фигура, но не соответствующая другой: когда мы взяли четыре оранжевых псевдо-крокодила, и после этого перепутали их в кучу друг с другом (то есть 1+1+1+1). Две эти невероятные анатомические фигуры должны быть идентичны, если мы определили сложение как сшивание крокодилов, а умножение как пришивание к одному Y других. Если все это соблюдается, и фигуры действительно одинаковые, можно считать — сшитые нами по всем правилам псевдо-крокодилы образуют математическое поле! Теперь можно запустить машину числовых множеств, описанную мной в начале статьи, и мы узнаем и что такое √2 псевдо-крокодилов, и что такое ∞ псевдо-крокодилов минус 1,35*√(i+5*π*sin(0,00009))+1+2+3+4+5 псевдо-крокодилов, и как эта живая (а может, уже и нет…) субстанция выглядела бы в реальном мире.
Собственно, этим мы и займемся в следующих статьях. Мы определим, как складывать и умножать кубики Рубика (и похожие на них), а также поговорим о том, как они выглядят, и попробуем с помощью этого представить, как бы выглядел 8д кубик Рубика и как его перекрутить в 2д?
Если тебе интересна и понравилась статья, поделись ею с друзьями!