Рассмотрим цилиндр радиуса R, равномерно заряженный с линейной плотностью +τ. При осевой симметрии замкнутую гауссову поверхность удобно выбирать в виде соосного цилиндра, замкнутого с обоих торцов:
В силу симметрии во всех точках, равноудаленных от оси цилиндра, электрические смещения D и напряженности поля E одинаковы.
При r ≥ R весь поток вектора напряженности будет проходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна 2πrl, так как поток через оба основания равен нулю. Применение теоремы Гаусса дает:
где τ – заряд единицы длины цилиндра. Отсюда
Этот результат не зависит от радиуса R заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю длинной однородно заряженной нити.
Разность потенциалов между двумя точками поля, лежащими на расстоянии r₁ и r₂ от оси заряженного цилиндра равна:
Если r₁ = R, то разность потенциалов по отношению к поверхности или оси цилиндра:
При r₁ = r₂ = R, ln1 = 0, поэтому удобно принять φ₁ = 0, тогда потенциал вне цилиндра:
Внутри цилиндра радиуса R поля нет (Е = 0) , т.к. q = 0 при r < R .
Зависимость напряженности (Е) и потенциала (φ) поля равномерно заряженного цилиндра от расстояния r до оси цилиндра.