Поле, равномерно заряженной сферической поверхности имеет радиальную симметрию относительно центра О.
Вектор напряжённости поля совпадает со своей радиальной составляющей: ׀E׀ = Eᵣ. Поэтому в качестве гауссовой поверхности удобно брать концентрическую сферу. Определим напряженность Е и потенциал φ в точках вне заряженной сферы.
Проводим соответствующую гауссову поверхность r > R, охватывающую заряженную сферу. Поток вектора напряженности сквозь эту замкнутую поверхность равен
Ф = ∮EᵣdS = ∮E dS = Е4πr²
По теореме Гаусса
Е4πr² = ∑ qᵢ /ε₀ε = σ4π R² /ε₀ε
Отсюда Е = σ R² /ε₀ε r²
Если r = R, т.е. гауссова поверхность совпадает с поверхностью заряженной сферы, то мы получим напряженность в точках на поверхности сферы:
Е = σ/ε₀ε .
Внутри заряженной сферы любая гауссова поверхность при r < R не охватывает заряды. Следовательно, по теореме Гаусса поток вектора напряженности сквозь такую гауссову поверхность равен нулю:
Ф = ∮Eᵣ dS = 0
Отсюда Eᵣ = 0, т.е. внутри заряженной сферы поля нет.
Связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля:
Eᵣ = - dφ/dr ,
Потенциал поля вне сферы равен
т.е. поле заряженной сферы такое же как поле точечного заряда q, находящегося в центре сферы. Внутри заряженной сферы поля нет, поэтому потенциал внутри сферы такой же, как и на поверхности:
Графики зависимости Е и φ от r показаны выше на рисунке.
Спасибо за внимание! Ставьте лайки, подписывайтесь и комментируйте :)