Эта статья не предназначена будущим профессиональным математикам. Но будет полезна будущим экономистам или инженерам.
Теория решения дифференциальных уравнений изучается на 1-2 курсах ВУЗов. А задачи, требующие применения полученных знаний, могут возникнуть гораздо позже, например, при изучении курсов, связанных с математическим моделированием, или при выполнении курсовых и дипломных работ.
Возникает проблема: как быстро получить нужный результат, не проходя практически заново давно изученный и часто основательно забытый материал? Особенно, если времени для этого катастрофически не хватает. Появление и развитие современных систем вычислительной математики существенно облегчило жизнь студентам: у них появился удобный способ решить данную проблему.
Рассмотрим, как решать дифференциальные уравнения с помощью WolframAlpha - облачной версии всемирно известной системы Mathematica.
Прежде всего нужно зайти на сайт WolframAlpha.com. Появляется окно, в котором можно ввести любой необходимый нам пример.
В качестве такого примера рассмотрим следующее дифференциальное уравнение:
Особенность системы в том, что запись максимально приближена к естественной. Например, можно не ставить знаки умножения, если и без них понятна интерпретация выражения. Функция ex записывается, как exp(x).
После ввода уравнения нужно нажать клавишу Enter либо знак равенства, что означает переход к вычислениям. На экране появляются следующие записи.
Ищем ответ в строке, где написано Equation differential solution, то есть «Решение дифференциального уравнения». Поскольку у нас нет начальных (и других) данных, решение должно содержать 2 произвольные константы. Здесь они обозначаются, как С1 и С2.
В платной версии работает кнопка Step by step solution, нажав на которую можно получить запись решения в виде, соответствующем алгоритму теории (так, как это делается на младших курсах). Это решение будет на английском языке, но, в принципе, там достаточно все понятно. В данном случае нам нужен только ответ, который имеет вид:
Теперь предположим, что у нас заданы начальные условия, т.е. мы имеем задачу Коши. Тогда мы должны задать значение функции и значение производной в 0 (или другой начальной точке).
Пусть, в нашем примере
y(0) = 1, y'(1) = 0.
Добавим эти условия в запись задачи и повторим вычисления. Кроме решения уравнения, система покажет схематично, как выглядит его график.
Теперь предположим, что мы хотим построить график более подробно. Тогда используем функцию Plot. Вот как выглядит график при задании конкретного интервала его построения.