Парадокс так называемого "Гранд-отеля" - это мысленный эксперимент, показывающий свойства бесконечных множеств. Он демонстрирует отель с бесконечным количеством комнат, в каждой из которых находится постоялец. При этом в гостиницу всегда можно подселить ещё посетителей, даже если их бесконечное множество.
Ну давайте разберемся подробнее.
Существует такой отель в котором бесконечное количество номеров и бесконечное количество посетителей. В этот отель приходит еще один человек и просит заселить его. Долго думая, администратор все таки нашел выход из этой ситуации. Он зашел в первый номер и попросил посетителю освободить его и переселиться в следующий, все люди из отеля переселились в комнату под номером n+1 (n - любое натуральное число).
Итак, администратор заселил данного посетителя, но вдруг неожиданно приезжает автобус в котором находятся 40 людей и все они просят найти им комнату в отеле. Снова непростая задача! Но администратор не решает сдаваться, он просит постояльцев из их номеров переселиться в номера с номером n+40 (n - любое натуральное число). Таким образом освободятся первые 40 номеров и все люди получат жилье.
Думаете на этом все? Я отвечу,ч то нет. Ведь к нашему отелю подъехал автобус с бесконечными местами и с бесконечными людьми в нем. Все они хотят заселиться. Что же делать администратору? Но он не так прост и придумал решение и этой проблемы. Его план состоял в том, что каждого постояльца из отеля он просил занять комнату под номером 2n. В итоге все, кто проживал в отеле заняли номера с четным числом (2, 4, 6 ...), следовательно постояльцы, которые приехали на бесконечном автобусе займут все нечетные номера.
Но вот к нам подъехали бесконечное количество автобусов с бесконечными людьми. Администратор распределяет пассажиров первого бесконечного автобуса в комнаты. Их номера соответствуют следующему простому числу — 3, возведённому в степень, равному номеру сидения в автобусе. Значит, человек, на сидении семь в первом автобусе, идёт в комнату три в седьмой степени, то есть в комнату 2187. Так происходит со всеми в первом автобусе. Пассажиры второго занимают степени следующего простого числа — 5, следующего автобуса — степени семи, а затем 11, 13, 17 и так далее. У всех этих чисел множителями могут быть только единица и простое число в степени с натуральным показателем, поэтому номера комнат ни у кого не совпадают.
Однако, в бесконечной гостинице Гильберта, где все комнаты заняты, но одновременно всегда есть свободные, трудности, с которыми сталкивается обычный прилежный и немного чересчур гостеприимный администратор, напоминают, как сложно нашим относительно ограниченным умом осмыслить необъятную природу бесконечности. Возможно, вам будет проще понять всё это, когда вы хорошенько выспитесь, но, скорее всего, в два ночи вам придётся переехать в другой номер.