Много факториалов

Пусть a(n)=1!*2!*3!*...*n!. Докажите, что a(2n) делится на a(n)^4.
Здесь n!=1*2*...*n.

Задача предложена как упражнение в статье А.И. Храброва "Число e и простые числа" в книге "Задачи Санкт-Петербургской олимпиады школьников по математике 2018 года".

Для решения задачи воспользуемся формулой Лежандра:
ord(n!,p)=[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+... ,
где ord(n!,p) означает степень вхождения числа p при разложении n! на простые множители, а квадратные скобки означают целую часть числа.

Переформулируем нашу задачу. Нам надо доказать, что для всех натуральных m выражение
[1/m]+[2/m]+...+[2n/m]
больше выражения
4([1/m]+[2/m]+...+[n/m]).

Пусть n=sm+t. Тогда
S(n)=[0/m]+ [1/m]+[2/m]+...+[n/m]= [1/m]+[2/m]+...+[n/m]=
=(0+...+0)+(1+...+1)+...((s-1)+...(s-1))+(s+...+s),
где во всех скобках, кроме последней, по m слагаемых; а в последней - (k+1) слагаемое. Значит, эта сумма равна
S(n)=m+2m+...+(s-1)m+s(t+1)=s(s-1)m/2+s(t+1).

С другой стороны, 2n=2sm+2t. Даже если 2t<m получаем, что
S(2n)=m+2m+...+(2s-1)m+2s(2t+1)=2s(2s-1)m/2+2s(2t+1).

Осталось сравнить S(2n) и 4S(n):
S(2n)-4S(n)>=2s(2s-1)m/2-4s(s-1)m/2+2s(2t+1)-4s(t+1)=
=sm-2s>=0,
так как m>=2.

А поскольку это неравенство верно для любого натурального знаменателя, не меньшего 2, то выполнено и для суммы таких выражений.