Во все времена в математике возникали противоречивые высказывания, которые не могут быть объяснены с точки зрения классической логики.
И люди не могли им ничего противопоставить. Одним из видов парадокса является апория, то есть высказывание противоречащее здравому смыслу. Первый толчок в развитии апории получили в 5-4 веке до нашей эры. К наиболее известным апориям относится апория лжеца, которая формулируется:
"Данное утверждение ложно"
И действительно, данное высказывание не может оказаться ни правдивым, ни ложным, что противоречит здравому смыслу. Еще одна известная апория называется парадокс кучи. Звучит она так: представьте, что перед вами куча риса, и Вы начинаете брать по одной рисинке и убирать из кучи, в какой момент куча перестанет быть кучей? Этот парадокс заключается в том, что все общепринято понимают, что такое куча, но сталкиваются с проблемой, когда нужно дать точное определение данному понятию.
Апории Зенона
Ну и конечно самыми распространенными апориями являются "апории Зенона". Про Ахиллеса и черепаху слышали почти все, но если вкратце, то суть заключается в том, что Ахиллес находится на расстоянии 100 метров от черепахи и пытается ее догнать, скорость Ахиллеса сильно больше, чем скорость черепахи. А парадокс вот в чем: для того чтобы догнать черепаху Ахиллесу нужно пробежать сначала 100 метров, однако за это время черепаха проползет какое-то расстояние Х, теперь когда Ахиллес пробежит этот Х, черепаха проползет еще какое-то расстояние и так далее. За время пока Ахиллес будет пробегать предыдущее расстояние, черепаха будет проползать еще хоть сколько-то, поэтому Ахиллес никогда ее не догонит. Так же Зенон говорит о парадоксе летящей стрелы, которая в каждый отдельный неподвижна, значит и суммарно она не пролетает никакого расстояния, однако мы знаем, что стрела не неподвижна.
В математике еще множество более сложных парадоксов. Рассмотрение этой части логики продолжим совсем скоро.