Первообразная и неопределенный интеграл .

Первообразная и неопределенный интеграл . 

Главной задачей в дифференциальном уравнении :по данным функции f(x) найти ее производную .Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F(x), зная ее производную F’(x)=f(x).Искомую функцию F(x) называют первообразную функции f(x). 

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на отрезке (a,b), если выполняется условие : 

F’(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx 

Пример1: Первообразной функции y=x^8, является функцией F(x)=(x^9)/9, 

так как 

F’(x)=((x^9)/9)=x^8=f(x). F(x)=(x^9)/9+С (где С- постоянная), F’(x)=((x^9)/9+С)=x^8+0=f(x). 

ТЕОРЕМА . 

Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для f(x) задается формулой F(x) + С, где С – постоянное число. 

Доказательство:функция F(x)+C является первообразной f(x).Отсюда следует F(x)+C=f(x). 

Множество всех первообразных функций F(x) + С для f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом ∫f x dx ( ) 

 Таким образом, по определению 

∫f( x) dx= F( x)+ C. 

Здесь f(x) называется подынтегральной функцией, f (x) dx ( ) – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, ∫ – знаком неопределенного интеграла. 

Операция по нахождению неопределенного интеграла от функции имеет название интегрирование этой функции. 

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство кривых y=F(x)+C , где каждому числовому значению С соответствует определенная кривая .График каждой первообразной кривой имеет название интегральная кривая. 

Свойства неопределенного интеграла . 

1. d(∫ f (x) dx f x dx ) =f(x)dx , (∫ f(x)dx)’=f(x). 

Например:∫(3x^2+5)dx=x^3+5x+C, верно так как (x^3+5x+C)=3x^2+5 

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной : 

∫dF(x)=F(x)+C.  

Например: ∫dF(x)= ∫F’(x)dx=F(x)+C 

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. 

∫cf(x)dx=c∫f(x)dx, где а неравно 0. 

Например:∫4xdx=4∫xdx 

4. Сумма неопределенного интеграла 

∫(f(x)+-k(x))dx=∫f(x)dx +- ∫k(x)dx. 

Например: ∫(4x+5x^2)dx=∫4xdx+∫5x^2dx 

Таблица основных неопределенных интегралов . 

1.∫h^ndh=h^(n+1)/n+1 (n≠-1)( ∫dx=x+C 

2. ∫du/u=ln/u/+C 

3. ∫a^ldl=a^l/lna+C 

4.∫e^sds=e^s+C 

5. ∫sinudu=-cosu+C 

6. ∫cosxdx=sinx +C 

7. ∫tgxdx=-ln/cosx/+C 

8. ∫ctgxdx=ln/sinx/+C 

9. ∫dx/cos^2x=tgx+C 

10. ∫dx/sin^2x= -ctgx +C 

11. ∫dx/sinx=ln/tgx/2/+C 

12. ∫dx/cosx=ln/tg(x/2+pi/4)/+C 

13. ∫dx/sqrt a^2-x^2=arcsinx/a +C 

14. ∫dx/sqrt a^2+x^2=ln/x+sqrt a^2+x^2/+C 

15. ∫dx/a^2+x^2=1/a arctgx/a+C 

16. ∫dx/a^2-x^2=1/2a ln/a+x/a-x/+C 

17.∫sqrta^2-x^2dx=x/2sqrta^2-x^2+a^2/2arcsinx/a+C 

18. ∫sqrtx^2+-a^2dx=x/2sqrtx^2+- a^2+-a^2/2ln/x+sqrtx^2+a^2/+С 

ПРИМЕР: ∫(4x^2+5x^3+x)dx=∫4x^2dx+∫5x^3dx+∫xdx=4x^3/3+5x^4/4+x^2/x+C.