Евгений Леонов родился в Москве в семье Павла Васильевича и Анны Ильиничны Леоновых. Отец Павел Васильевич Леонов работал инженером на авиазаводе, мать Анна Ильинична Леонова была домохозяйкой. Евгений был вторым ребёнком в семье: брат Николай Павлович Леонов был старше его на два года, работал авиаконструктором в Туполевском бюро. Жили в коммунальной квартире на Васильевской улице, занимая две небольшие комнаты.
В 1934—1941 годах учился в Московской средней школе № 126 Советского района
. Ещё в четвёртом классе его заметил режиссёр, который подыскивал «самого смешного, пухлого мальчишку» для съёмок в фильме. Леонов был приглашён на студию, но в последний момент «то ли родители не пустили, то ли испугался, застеснялся» и в картине участия не принял. В пятом классе записался в школьный драмкружок.
Осенью 1943 года поступил в Авиационный приборостроительный техникум им. С. Орджоникидзе, участвовал в художественной самодеятельности.
На третьем курсе ушёл из техникума и поступил на драматическое отделение Московской экспериментальной театральной студии при Московской областной филармонии, которой руководил Р.В.Захаров, балетмейстер Большого театра.
В 1947 году окончил студию и был принят в Московский театр.
С 1948 года выступал на сцене Московского драматического театра им. К. С. Станиславского (ныне Электротеатр Станиславский).
С 1968 года — актёр Московского театра им. В.Маяковского. На этой сцене сыграл одну из лучших своих ролей — Ванюшина-отца в пьесе С.А.Найдёнова «Дети Ванюшина».
Среди лучших ролей, сыгранных в «Ленкоме» — Иванов в одноимённой пьесе А. П. Чехова, Вожак в «Оптимистической трагедии» Вс. В. Вишневского и Тевье в «Поминальной молитве» Г. Горина — роль, за которую актёр был удостоен Государственной премии России.С 1948 года снимался в кино. Популярность приобрёл после выхода на экраны фильма «Полосатый рейс». Яркий и мягкий, комедийный характер большого обаяния, актёр отличался непосредственностью и простодушной открытостью, был наделён и самобытным драматическим дарованием. Очень органично перевоплощался в своих многочисленных добродушных, приятных, привлекательных героев, простоватых, с обаятельной хитрецой, даже несмотря на то, что многие роли актёра на поверку были явно отрицательные. В кинематографе практически не гримировался, герои носят его внешность — небольшой рост, полная мешковатая сутулая фигура, круглое лицо с большим носом и толстыми губами, голова со значительной проплешиной. Глуховатый хриплый голос актёра моментально узнаваем.
Скончался вечером 29 января 1994 года, на 68-м году жизни, по причине отрыва тромба, собираясь на спектакль «Поминальная молитва». Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище (участок № 10).