1) Совершенное число, большее 6, делится на 3. Докажите, что оно делится на 9.
2) Совершенное число, большее 28, делится на 7. Докажите, что оно делится на 49.
Напомню, что натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, отличных от самого числа. Например, 6=1+2+3. До сих неизвестно ни одного нечётного совершенного числа. Впрочем, не доказано и то, что их не существует.
Задачи, написанные выше, имели номера 10.6 и 11.6 на Всероссийской олимпиаде по математике 2000 года. Их автор - А.И. Храбров.
Решение задачи 1. Предположим, что совершенное число равно 3n, где n не кратно 3. Тогда все натуральные делители числа 3n (включая его самого) можно разбить на пары d и 3d, где d не делится на 3. Значит, сумма всех делителей числа 3n (она равна 6n) делится на 4. Значит, n - чётно. Заметим, что числа 3n/2, n, n/2 – различные делители числа 3n, а их сумма равна 3n+1. Это больше 3n. Следовательно, что число 3n не может быть совершенным. Противоречие.
Решение задачи 2. Предположим, что совершенное число равно 7n, где n не кратно 7. Тогда все натуральные делители числа 7n (включая его самого) можно разбить на пары d и 7d, где d не делится на 7. Значит, сумма всех делителей числа 7n (она равна 14n) делится на 8. Отсюда n кратно 4. Заметим, что числа 7n/2, 7n/4, n, n/2, n/4 и 1 – различные делители числа 7n, а их сумма равна 7n+1. Это больше 7n. Следовательно, что число 7n не может быть совершенным. Противоречие.