Родился 25 декабря 1906 г. на станции Иркутск-Сортировочный, ныне — в черте города Иркутска.
К. К. Абрамов после окончания девяти классов работал секретарем Назаровского райкома комсомола Красноярского края. В Советской армии — с 1928 г., был красноармейцем 36-й стрелковой дивизии. В 1929 г. принимал участие в боях на Китайско-Восточной железной дороге (КВЖД) против китайских милитаристов. В 1930—1935 гг. проходил службу командиром стрелкового взвода, секретарем комсомольского бюро полка, комиссаром батальона связи. Окончил Военно-политическую академию им. Ленина в 1938 г. В 1938—1939 гг. был военным комиссаром механизированной бригады, военным комиссаром 15-го танкового корпуса.
С марта 1939 г. начальник политуправления Сибирского военного округа (Новосибирск). Сразу после начала Великой Отечественной войны на базе округа была сформирована 24-я армия, в которой дивизионный комиссар Абрамов также стал начальником политуправления. Уже 26 июня 1941 г. первые эшелоны армии отбыли на фронт. В составе Резервного фронта армия под командованием генерал-майора К. И. Ракутина хорошо проявила себя в Смоленском оборонительном сражении и сыграла решающую роль в Ельнинской наступательной операции в сентябре 1941 г. Дивизионный комиссар К. К. Абрамов проявил в этих боях как личную отвагу, так и талант боевого политработника, пользовался большим уважением в войсках.
В октябре 1941 г. с частями армии К. К. Абрамов оказался в Вяземском котле, был ранен, но сумел с группой бойцов прорваться из окружения и после многодневного похода по тылам вражеских войск выйти к своим. В декабре 1941 — мае 1942 г. — член Военного Совета 24-й армии (второго формирования), которая формировалась в Московском военном округе. С июня 1942 г. — член Военного Совета 64-й армии. Всю Сталинградскую битву К. К. Абрамов провел в боевых порядках армии, с августа 1942 по февраль 1943 г. вместе с командармом М. Шумиловым неотлучно находился на насквозь простреливаемом плацдарме в Сталинграде. Указом от 6 декабря 1942 г. дивизионному комиссару Абрамову присвоено воинское звание генерал-майор.
С июня по август 1943 г. был членом Военного Совета 63-й армии Брянского фронта, которая в то время участвовала в Орловской наступательной операции. С августа 1943 г. и до конца войны — член Военного Совета 6-й гвардейской армии. В составе Воронежского, 2-го и 1-го Прибалтийских фронтов вместе с армией участвовал в освобождении Левобережной Украины, в Невельско-Городокской операции, в Белорусской стратегической наступательной операции, в Прибалтийской стратегической наступательной операции, в блокаде Курляндской группировки противника.
В Витебско-Оршанской и Полоцкой операциях генерал-майор К. К. Абрамов находился в передовых частях армии, обеспечивая стремительность их наступления в глубине вражеской обороны. Под Витебском уже к исходу второго дня наступления К. К. Абрамов с передовыми отрядами вышел к реке Западной Двине и сделал все от него зависящее для ее форсирования с ходу, захвата и надежной обороны плацдармов на западном берегу. Этот успех позволил остальным армиям фронта замкнуть кольцо вокруг Витебской группировки врага и уничтожить ее всего за двое суток. К. К. Абрамов принимал участие в прорыве с ходу укрепленного рубежа обороны группы армий «Центр» южнее Полоцка, а затем прошел с передовыми отрядами армии свыше 100 км за пять суток, нанося отступающему противнику огромный урон.
За умелое руководство партийно-политической работой и личное мужество в период форсирования Западной Двины в июне 1944 г. и прорыва обороны противника в районе города Полоцка гвардии генерал-майору Абрамову Константину Кириковичу Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 июля 1944 г. присвоено звание Героя Советского Союза.
После Победы в 1946—1949 гг. учился в Военной академии Генерального штаба. Успешно окончил ее и был переведен на командную работу. С 1949 г. командовал стрелковым корпусом в составе Северо-Кавказского военного округа. Жил Абрамов К. К. в Сталинграде (ныне город Волгоград). Скончался 10 апреля 1952 г. Похоронен в Волгограде.
Награжден двумя орденам Ленина, тремя орденами Красного Знамени, двумя орденами Отечественной войны I степени, орденом Красной Звезды, медалями.
Мемориальная доска К. К. Абрамову установлена на фасаде дома в городе Назарово. Имя К. К. Абрамова присвоено улице в городе Назарово.