Сложные уравнения с несколькими неизвестными, тригонометрические вычисления, теоретическая физика, линейная алгебра, относительные числа, дифференциальные уравнения, математические теоремы, которые восходят к античности, вплоть до последних открытий двадцатого века формируют наш мир.
С каждым новым математическим уравнением появляется поток вопросов и новых ответов о нашем физическом мире.
В 2013 году Ян Стюарт, известный британский математик и ученый, опубликовал книгу под названием «17 уравнений, которые изменили мир».
Знание математики - это возможность изменить мир. Но на полпути между рассуждением и интуицией математика всегда уступала место воображению и творчеству. Представляем антологию некоторых математических уравнений, которые ознаменовали целую эпоху и глубоко изменили представление о математике, науке, а иногда и в целом о мире. Вот 15 революционных математических формул.
1. Теорема Пифагора: базовое математическое уравнение
Эта теорема, датируемая 530 годом до нашей эры, является, вероятно, одной из самых известных. Она остается сегодня одним из столпов современной математики и долгое время способствовала развитию математики как дисциплины и её исторических аспектов
Даже по прошествии многих лет название этой теоремы и все, что она подразумевает, все еще находится в дальнем углу нашей памяти. Даже если вы сочтете это плохими воспоминаниями, забыть теорему и ее составляющие сложно.
Давайте еще раз попробуем вспомнить его определение:
«В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (то есть сторона, противоположная прямому углу) равен сумме квадратов длин двух других сторон».
Также теорема может быть выражена как геометрический факт о том, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равен сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Исходя из этого постулата, верно и обратное утверждение: «Треугольник, сумма квадратов длин двух сторон которого равна квадрату длины третьей стороны, является прямоугольным».
Теорема, ее обратное и знаменитое связанное уравнение позволили по-новому взглянуть на геометрию, что обусловило переход от аксиоматической евклидовой геометрии к неевклидовой геометрии.
Благодаря Пифагору и его знаменитому уравнению можно легко вычислить длины, углы и показать, что треугольник является прямоугольным или не является им.
Теорема Пифагора по-прежнему используется в практических областях, таких как строительство, архитектура, плотницкие работы, садоводство и многое другое.
2. Теорема Фалеса: фундаментальная математическая формула номер два
Второй столп математики - знаменитая теорема Фалеса.
В Германии она известна под названием Strahlensatz - теорема луча, в англоязычных странах также может называться теоремой о перехвате. Такое название теоремы Фалеса обозначает, что любой угол, вписанный в полукруг, является прямым.
Знаете ли вы, что эта теорема на самом деле создана не Фалесом, а Евклидом?
Фалес считается одним из семи великих мудрецов Греции; его теории распространяли такие выдающиеся люди, как Аристотель, Диоген Лаэртский и Цицерон. Взгляды Фалеса излагаются в трудах Плуке «De dogmatibus Thaletis Milesii» и Мюллера «De aqua, principio Thaletis».
Определение: «Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки». Обратное применение теоремы стремится доказать, параллельны ли две прямые.
Как теорема Фалеса повлияла на математику? Каким образом она обеспечивает реальное математическое решение конкретных проблем?
В геометрии теорема Фалеса и ее обратное утверждение могут быть использованы для выделения и установления условий выравнивания или параллелизма.
Легенда гласит, что по просьбе царя Амасиса Фалес отправился в Египет, чтобы оценить высоту пирамид, а точнее - Хеопса. Он воткнул в землю палку, дождался, когда длина тени от палки стала равной ее высоте, и повелел измерить тень от пирамиды, заявив, что высота тени в этот момент равна высоте самой пирамиды. Так Фалес изобрел «свою» теорему.
Другими словами, если длина трости и ее тени известны, возможно, применить те же пропорции для определения высоты пирамид, которые мы получили после измерения тени.
3. Логарифмы
Логарифмы, популяризированные Джоном Непером в 1610 году, объединяют обратные, противоположные и экспоненциальные функции.
До разработки компьютера вычисления с логарифмами были наиболее распространенным способом умножения больших чисел, что позволяло проводить вычисления быстрее, дало возможность сделать гигантские скачки в области математики, физики, инженерии и астрономия.
Существуют три типа логарифмов:
- Натуральный логарифм является фундаментальной основой в математическом анализе,
- Логарифм, используемый в расчетах по математике,
- Двоичный логарифм используется в компьютерной теории и прикладных вычислениях.
Логарифм числа - это показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b.
Например, при основании 10, логарифм (log): Log (1) = 0, log (10) = 1, log (100) = 2.
Логарифмы позволяют компактно представить широкий диапазон значений. Там, где исходное значение увеличивалось кратно (геометрическая прогрессия), логарифм этого значения изменялся на единицы (арифметическая прогрессия). Это свойство позволяет использовать логарифмы, и не только десятичные, во всевозможных шкалах, ведь логарифмы позволяют преобразовывать кратные значения в равномерную шкалу, что немаловажно.
Так, логарифмическими являются шкала громкости звука, шкала Рихтера, шкала яркости звёзд. Основания логарифмов в этих шкалах разные, например, логарифмы шкалы громкости звука имеют основание 10, а логарифмы шкалы яркости звёзд - корень пятой степени из 100. Даже клавиши рояля расположены по логарифмической линейке.
Есть место логарифмам и в области психофизиологии. Основной психофизический закон, открытый немецким учёным Фехнером утверждает (в упрощенной формулировке), что "раздражение нарастает в геометрической прогрессии, а ощущения - в арифметической, и отношение раздражителей к ощущениям может быть представлено в виде логарифмической кривой".
То есть субъективное ощущение пропорционально логарифму интенсивности стимула. Фехнер заметил, что каждый человек имеет собственную чувствительность к раздражителям, которая зависит от физиологических особенностей человека, а так же от того, какое из чувств задействовано. Например, воспринимаемая яркость или громкость пропорциональна логарифму интенсивности их фактической величины, измеренной при помощи приборов.
В качестве примера Фехнер приводил следующее: представим, что мы находимся в комнате, освещённой только одной свечой. Если в неё внести вторую свечу, то прирост яркости освещения будет нам казаться более весомым, чем если бы мы внесли ещё одну свечу в комнату, где находится 10 свечей.
Закону Фехнера подчиняются зрение, обоняние, осязание, слух, вкус, эмоции, память. Объяснение этому можно найти такое. Представьте себе, что зрение человека способно воспринимать сигналы, различающиеся по силе в 1010 раз (приблизительно), это довольно большой диапазон, способный дать огромную нагрузку на рецепторы сетчатки глаза, которая может даже привести к их гибели. Поэтому природа научилась логарифмировать все поступающие раздражители путём биологических ограничений. Интересно, что логарифмические спирали в природе можно увидеть повсюду: в расположении семян в подсолнечника, в раковинах моллюсков и т.д.
В быту мы тоже используем логарифмические шкалы: делим города на стотысячники и миллионники, богатых людей подразделяем на миллионеров и миллиардеров и т.д.
Можно привести пример покупок. Представьте, что вы покупаете небольшой набор продуктов. Если речь идёт об экономии денежных средств, то экономить мы будем каждый рубль. А покупая что-то более крупное, например, холодильник, обращать внимание мы будем уже на сотни рублей.
Очевидно, то, что в быту мы пользуемся логарифмами с основанием 10, скорее всего, это связано с тем, что пользуемся мы десятичной системой счисления.
4. Закон гравитации
Есть ли кто-то, кто никогда не слышал о законе притяжения Исаака Ньютона? Вы слышали историю с яблоком, которое падает на голову ученого, когда он любуется луной на небе? Это открытие случилось в 1687 году.
Именно тогда, когда Ньютон связал эти два тела (луну и яблоко), он задался вопросом: почему луна не падает?
Ответ очевиден: она «удерживается» гравитационной силой .
Так родилась знаменитая формула закона тяготения Ньютона: «Звезды притягиваются пропорционально произведению их массы, которое обратно пропорционально квадрату расстояния между ними» .
Математически это выражается
F здесь представляет силу, G представляет гравитационную постоянную, mA и mB - соответственно масса тела A и тела B, d - расстояние, выраженное в метрах. Эта формула стремится показать значение силы, воздействующей телом A на B, и наоборот.
Для ньютоновских гравитационных сил справедлив принцип суперпозиции: сила тяготения, действующая на частицу со стороны нескольких других частиц, равна векторной сумме сил притяжения со стороны каждой частицы.
Ещё одно важнейшее свойство классической гравитации - принцип эквивалентности. Его следствием является тот факт, что ускорение, сообщаемое заданному телу тяготением, не зависит от массы этого тела, химического состава и других свойств.
Через 200 лет после создания своей теории Ньютоном Эйнштейн предложит заменить теорию гравитации своей теорией относительности.
5. Теория относительности
Независимо от того, занимаетесь ли вы математикой и физикой или ничего не знаете о математических терминах, каждый знает знаменитую формулу E = mc² Альберта Эйнштейна .
Основная формула теории относительности произвела революцию в понимание пространства и времени.
Он все еще актуальна сегодня, потому что показывает, что материя может быть преобразована в энергию и наоборот.
Специальная теория относительности привела к мысли, что скорость света является универсальной постоянной, которая не меняется, и что течение времени не одинаково для людей, которые движутся с разными скоростями.
Общая теория относительности Эйнштейна описывает гравитацию, где пространство и время искривляются и сгибаются: это было серьезным новаторством со времен закона тяготения Ньютона.
Даже сегодня теория относительности Эйнштейна остается важной для понимания происхождения, структуры и судьбы нашей Вселенной. Еще одно доказательство необходимости вездесущей математики в нашей повседневной жизни.
6. Теория хаоса
Теория хаоса продемонстрировала то, что нельзя с уверенностью предсказать будущее. Она описывает процесс или систему, которые постоянно изменяются, развиваются с течением времени.
Эта теория доказывает, что нет реального процесса, который можно предсказать.
Хотя общепринятого универсального математического определения хаоса нет, обычно используемое определение говорит, что динамическая система, которая классифицируется как хаотическая, должна иметь следующие свойства:
- Она должна быть чувствительна к начальным условиям.
- Она должна иметь свойство топологического смешивания.
- Её периодические орбиты должны быть всюду плотными.
Более точные математические условия возникновения хаоса выглядят так:
Система должна иметь нелинейные характеристики, быть глобально устойчивой, но иметь хотя бы одну неустойчивую точку равновесия колебательного типа, при этом размерность системы должна быть не менее 1,5.
Развитие теории хаоса позволяет понять простую вещь: хаос присутствует вокруг нас. Это трансверсальная теория, то есть она находит свое место во многих областях. Везде можно найти хаотические системы: сложные системы, демонстрирующие чрезвычайную чувствительность к начальным условиям и, таким образом, проявляющие непредсказуемое поведение, которое, таким образом, выглядит беспорядочным.
«Хаос является важным компонентом турбулентности, и потоки турбулентности существуют повсюду: от потока крови в аорте, до потока сгорания масла в автомобильных и реактивных двигателях, до атмосферы - от турбулентного внутреннего пространства звезд и планет - вплоть до галактики. " К.Ф. Баренги
Таким образом, турбулентность внутри потоков делает динамическую систему хаотической системой.
Но что такое турбулентность?
Турбулентность - это состояние беспорядка динамических и нелинейных систем. Это принцип, который объясняется простым уравнением, сформулированным в 1975 году биологом Робертом Мэйем на основе принципа эволюции населения:
если X = население, наличествующее в данный момент, то население на следующий год будет:
X (следующий) = rX (1-X)
при этом r - учет постоянной зависимости населения.
Чтобы лучше понять уравнение, мы можем выбрать 3 в качестве значения r. Мы также предполагаем, что 0> X> 1, так что 0 означает вымирание населения, а 1 - максимум населения.
Для начала выберем значение 0,234 для X и применим формулу:
3 x 0,234 (1 - 0,234) = около 0,537
Это базовый размер популяции.
Затем выберем значение 0,537 для X:
3 x 0,537 (1 - 0,537) = примерно 0,745
Население увеличивается.
Теперь, примем 0,745 за X:
3 х 0,745 (1 - 0,745) = около 0,569
Население уменьшилось.
При 0,569 для X:
3 х 0,569 (1 - 0,569) = около 0,735
Население еще больше увеличилось.
При 0,735 для X:
3 x 0,735 (1 - 0,735) = около 0,584
Население снова уменьшилось.
Таким образом, посредством этой формулы мы можем наблюдать, как происходит изменение результатов и, следовательно, колебания в эволюции населения. Эта кажущаяся нестабильность дает форму предсказуемой турбулентности: это суть теории хаоса.
Теперь, когда мы определили и продемонстрировали принцип турбулентности с помощью концепции популяции, мы можем видеть, как она проявляется в разных областях.
Несмотря на то, что теория Роберта Мея появилась совсем недавно, датируется 1975 годом, уже в исследованиях Анри Пуанкаре в конце XIX-го века можно найти явление чувствительности к начальным условиям, одну из двух фундаментальных характеристик теории хаоса (вторым является принцип повторения).
В своей формуле Мэй пытался объяснить то, что хаотические процессы (например, погода, которая регулярно подвергается множеству климатических изменений) могут привести к возникновению совершенно другой системы спустя некоторое время.
Самая известная иллюстрация теории Р. Мея - это «эффект бабочки», который говорит о том, что «взмах крыльев бабочки в Бразилии может вызвать ураган или торнадо в Азии» .
Другими словами, самые незначительные вещи могут оказать неожиданное и непредсказуемое влияние на близкое окружение, и вызвать тем самым другое, гораздо более отдаленное.
Принцип хаоса проявляется и в анатомии тел, например, в движении импульсов в нервах нашей системы, которые считаются хаотичными из-за турбулентности сердца и т.д. Анатомия человеческого тела представлена в виде фрактала структурой вен, системы кровообращения, легких, формы мозга. Именно благодаря особой структуре фракталов нам удается иметь огромную поверхность циркуляции в ограниченном пространстве: наши легкие могут соответствовать поверхности теннисного корта имея размер всего в несколько теннисных шаров. Такая поверхность облегчает манипулирование жизненно важными жидкостями и токсинами организма, следовательно, демонстрирует жизнеспособность хаоса в функционировании тела.
Кровеносные сосуды можно рассматривать как фракталы, так как они могут быть разделены на более мелкие секции. Они делают то, что можно назвать «магией измерений», сжимая большую область в ограниченном объеме.
Ученые выявили хаотические явления в процессе мутации ДНК.
Мозг также можно рассматривать как хаотическую систему.
Эффект бабочки проявляется и в программировании. Язык кода, основанный на алгоритмах, очень разнообразен и сложен. Код программы, очень большой и содержит много информации. Эффект бабочки обнаруживается там, где все зависит от начальных условий. Изменение, которое мы могли бы считать незначительным в очень маленькой части кода, будет повторяться по всему алгоритму, давая совершенно другой результат. Чувствительность к начальным условиям является важным принципом, который следует учитывать при программировании; следует позаботиться о том, чтобы случайно не вызвать цепные реакции, которые могут легко привести к техническим или компьютерным ошибкам.
Мы можем найти много общего между хаосом и миром криптологии, то есть наукой о расшифровке сообщений, закодированных алгоритмом. Во-первых, чувствительность к начальным условиям: в криптоанализе мы имеем дело с «открытым текстом» для обозначения декодированного текста и «ключом шифрования». Если есть неопределенность или возможность минимального изменения в одном из этих двух факторов (в частности, ключа), полученное сообщение будет иметь 50% вероятность полного преобразования. Создается путаница, которая кажется хаотичной. Это вызывает второй аспект криптографии, который связывает её с хаосом: постороннему наблюдателю зашифрованное сообщение может показаться совершенно хаотичным и случайным. Однако после анализа подтверждается обратное, и мы сталкиваемся с чрезвычайно точным сообщением. Это снова возвращает нас к одному из понятий хаоса - идее, что общая форма систем кажется хаотичной, а содержание - нет.
В алгебре также применяется эта теория при вычислении приблизительных значений. Например, если мы выполняем усечение числа pi до двух десятичных знаков (в данном случае 3.14), многократное применение этого приближения будет генерировать результаты, все более и более далекие от реальности, которую мы хотим изучить.
В теории хаоса именно возможное влияние множества факторов делает любое событие непредсказуемым.
7. Исчисление бесконечно малых
В математике положительное бесконечно малое число - это объект, который больше нуля с точки зрения порядка действительных чисел, но меньше любого небольшого действительного числа. Бесконечно малая величина - числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.
Первым математиком, использовавшим такие числа, был Архимед, хотя он не верил в их существование.
Ньютон и Лейбниц использовали бесконечно малые числа, чтобы развить свои исчисления (дифференциальное и интегральное исчисление). Вопрос о бесконечно малых тесно связан с вопросом о природе действительных чисел.
Исчисление бесконечно малых применяется в вычислениях с интегралами, рядами или бесконечными последовательностями, функциях путем обработки их производных и их пределов.
Если бы пришлось обобщить бесконечно малое исчисление в одном предложении, можно было бы говорить об изучении вариаций .
Есть много возможностей конкретного применения исчисления бесконечно малых в механике, физике или, что еще удивительнее, в экономике.
Действительно, изучение вариаций позволяет изучать, например, эволюцию компании, принимая во внимание множество различных данных и, возможно, предсказать или дать представление о ее финансовом состоянии в будущем.
8. Тождество Эйлера
Тождество Эйлера считается «самым красивым уравнением» математики, в которой используются все основные математические константы.
e — это число Эйлера и основание натурального алгоритма, математическая константа (около 2,71828), представляющая собой основание натурального логарифма, который, в частности, содержится в анализе или дифференциальном исчислении;
i — мнимая единица, которая удовлетворяет равенству i2 = -1, она представляет собой алгебру (комплексные числа, найденных в уравнениях с тремя неизвестными);
π — число PI, отношение длины окружности к ее диаметру, знаменитая константа Архимеда, которая подключает в формулу геометрию;
0 — нейтральным элементом или аддитивная единица, представляющие арифметику и математику, действие сложения;
1 — положительное число, которое равно своему обратному, представляющее собой нейтральный элемент умножения.
Эйлер опубликовал свою формулу в её привычном виде в статье 1740 года и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (лат. Introductio in analysin infinitorum, 1748 год), истинной библии математического анализа.
Почему мы восхищаемся этим уравнением? Потому что он использует три основных операции в арифметике: сложение, умножение и возведение в степень.
Таким образом, тождество Эйлера суммирует большую часть достижений математики.
Это уравнение украшает Дворец Открытий в Париже, проложило путь к развитию топологии, ветви современной математики.
9. Преобразование Фурье
Преобразование Фурье делит время на несколько частот и простые волны, подобно призме, разлагающей свет на несколько цветов.
Другим примером может быть магнитное поле или акустическое поле, которое определяется как сигнал. Преобразование Фурье - это его спектр: оно разрушает акустическое или магнитное поле.
Эта теория перевернула наш мир с ног на голову, потому что внезапно стало возможным понять структуру более сложных волн, таких как человеческая речь.
Сегодня мы используем эту теорию, которая датируется 1822 годом, в основе современных исследований по обработке и анализу сигналов, а также обработки данных.
10. Уравнения Максвелла
Уравнения Максвелла описывают, как взаимодействуют электрические заряды, а также электрические токи и магнитные поля.
Система уравнений Максвелла является обобщением основных законов об электрических и электромагнитных явлениях.
Это основные и фундаментальные законы физики сегодня.
Существует четыре вида уравнений Максвелла:
- Уравнение Максвелла-Гаусса,
- Уравнение Максвелла-Томсона,
- Уравнение Максвелла-Фарадея,
- Уравнение Максвелла-Ампера.
11. Второй принцип термодинамики
Второй принцип термодинамики (также известный как принцип Карно, который провозгласил его в 1824 году) неопровержимо доказывает, что физические явления необратимы, особенно при тепловых изменениях.
Этот принцип несколько раз перерабатывался и переформулировался, и в 1873 году Людвиг Больцман и Макс Планк способствовали его популяризации.
В то время как первый принцип термодинамики устанавливает эквивалентность различных форм энергии, включая тепло и работу (принцип сохранения), второй принцип вводит другую систему, называемую энтропией .
Это принцип эволюции, потому что он определяет, в каком направлении возможны энергетические преобразования мира.
Поэтому некоторые химические превращения возможны, а другие никогда не будут осуществляться.
Если рассмотреть конкретный пример проявления этого закона в жизни, то, если вы положите кубик льда в чашку с горячим кофе, вы увидите, что кубик льда тает, но кофе при этом не замерзает.
12. Уравнение Шредингера
Уравнение Шредингера является прекрасным практическим сплавом математики и квантовой механики.
Поскольку теория общей относительности Эйнштейна объясняет вселенную в целом, то это уравнение проливает свет на поведение атомов и субатомных частиц.
Уравнение Шредингера объясняет эволюцию во времени частицы. Оно описывает состояния этой частицы, из которых можно описать все состояния объектов, состоящие из частиц.
Это уравнение ставит реальный философский вопрос, а именно:
- Проявляется ли вещество только в следующих возможных состояниях (газ, твердое тело, жидкость)?
- Возможно ли что-то еще?
Это уравнение широко применяется в современных технологиях, таких как ядерная энергетика, полупроводниковые компьютеры и лазеры.
13. Уравнения Навье-Стокса
Уравнения Навье-Стокса применяются в механике жидкости. Это уравнения, описывающие движение ньютоновских жидкостей (газов и некоторых жидкостей), которые имеют нелинейные частные производные.
Хотя не было доказано, существуют ли решения этих уравнений всегда в трех измерениях и, если они существуют, являются ли они бесконечно дифференцируемы во всех точках в локации этих уравнений (нелинейных), они часто позволяют моделировать явления, относительно близкие к воспринимаемой реальности.
Эти уравнения полезны в таких областях, как моделирование погоды, изучение океанских течений, воздушного потока вокруг крыла, поведения конструкций (зданий, мостов) под воздействием ветра, потока воды в трубе. Уравнения Навье – Стокса в их полной и упрощенной формах помогают при проектировании самолетов и автомобилей, изучении кровотока, проектировании электростанций, анализе загрязнения и многом другом. В сочетании с уравнениями Максвелла могут быть использованы для моделирования и изучения магнитной гидродинамики.
Поэтому общей областью применения данных уравнений является аэродинамика, и но их могут применять и конструкторские бюро спортивных команд (например, по автоспорту или велоспорту), которые стремятся максимизировать производительность, сводя к минимуму воздействия ветра.
14. Теория информации Шеннона
Эта теория находит свое начало в статье «Математическая теория коммуникации», опубликованной в 1948 году Клодом Шенноном и впоследствии дополненной Уорреном Уивером. В этой теории рассматривается информация как измеримая переменная, хотя она не является наблюдаемой.
Популяризации этой теории способствовало то, что она направлена на количественную оценку среднего содержания информации, содержащейся в одном наборе сообщений.
Хотя теория информации изначально ограничивалась только анализом средств, которые должны быть реализованы для максимально эффективной передачи информации, она быстро стала объектом изучения в математической статистике, в частности в применялась в работе Рональда Эйлмера Фишера, где он измерял статистику по профессиям.
Фишер подчеркивает тот факт, что информация
равна среднему значению квадрата частной производной (δ)
натурального логарифма закона вероятности.
Другими словами, чем вероятнее информация, тем меньше информации она порождает и наоборот. Приведем в пример журналиста, представляющего телевизионные новости.
Когда последний начинает выпуск словами «Добрый вечер», информация считается весьма вероятной и, следовательно, вызовет возникновение относительно небольшого количества ответной информации. И наоборот, открытие выпуска заголовком «Швеция боится» имеет низкую вероятность и относительно большой объем информации, которая, последует в ответных реакциях зрителей.
Принципы этой теории могут найти довольно широкие области применения: от криптографии до кодирования информации путем измерения степени избыточности текста или нескольких фрагментов информации.
Другие более поздние теории объединяют математический анализ с такой информацией, как алгоритмическая теория информации, популяризированные Колмогоровым, Чайтиным и Соломоновым.
15. Математические формулы побеждают в войне: случай машины Enigma
Многие слышали об Enigma и ее роли в расшифровке посланий Германии во время Второй мировой войны.
Историки сходятся во мнении, что криптоанализ сообщений противника с использованием дешифровальной машины Enigma был основным фактором успеха союзников и что он косвенно способствовал спасению многих жизней, а также сокращению сроков военных действий.
Основной принцип машины Enigma основан на трех элементах, которые работают в цепочке:
- Таблица соединений, которая позволяет заменять буквы алфавита две на две благодаря шести «файлам» (поэтому мы можем поменять местами 12 букв: A станет, например, E, а E станет A, D может остаться D…),
- Роторы, которые также дают возможность перестановки, но не взаимной, то есть, если B становится C, C не обязательно станет B. По мере развития машины Enigma количество роторов возросло от трех до шести. Из этих шести роторов только три использовались для кодирования и могли быть расположены в любом порядке. Если ротор изначально преобразует D в B, когда он поворачивается на одну ступеньку, он преобразует C в A. Ротор имеет двадцать шесть выемок на столько же позиций. После 26 букв он возвращается в исходное положение, и второй ротор вступает в действие. Так до третьего
- Отражатель / Рефлектор, который позволяет произвести последнюю перестановку. Цель её состоит в том, чтобы снова поменять местами все буквы 2 на 2, которые затем передаются роторам, а затем на соединительную панель.
Комбинация всех этих перестановок раскрывает 10 в 16 (10 степеней 16) возможностей различной интерпретации кодирования.
Если вы еще не видели фильм «Игра в имитацию», посвященный этой теме, то у вас есть возможность увидеть действие машины.
Выводы:
- С течением времени, и особенно в XVIII и XIX веке, математические уравнения начали трансформировать мир, в котором мы живем, они изменили способ мышления и отражения или задали миру новые разнообразные траектории.
- Уравнения есть везде, математика вездесуща, каждый день в нашей повседневной жизни и в обучении мы встречаемся с математическими формулами и уравнениями.
- Всегда человечество будет внедрять математические инновации. И мы снова ждем, какое математическое откровение перевернет наши представления о жизни.
✈ ЕЩЕ НА КАНАЛЕ:
Квантовые вычисления с Horse Ridge