Условие: На стороне BC остроугольного треугольника ABC (AB ≠ AC) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 80, MD = 64, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH. Решение: Для решения задачи необходимо ввести дополнительные построения. Достроим до полной окружности и найдем точки пересечения прямой AD с окружностью в двух точках (см. рис 2. - точка М и точка Q). Угол BKC — вписанный, опирающийся на диаметр, поэтому он равен 90°. Значит, точка H пересечения прямых BK и AD — точка пересечения высот в треугольнике ABC. Продолжение высоты AD до пересечения с окружностью в точке Q – является секущей окружности. Получаем, что MD=QD=64. По теореме о секущих получаем, что AM·AQ=AK·AC=(80 - 64)·(80 + 64) =2304. Треугольники AKC и ADC — прямоугольные, угол DAC— общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда: Ответ: 28,8.
Условие: На стороне BC остроугольного треугольника ABC (AB ≠ AC) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 80, MD = 64, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
Решение: Для решения задачи необходимо ввести дополнительные построения. Достроим до полной окружности и найдем точки пересечения прямой AD с окружностью в двух точках (см. рис 2. - точка М и точка Q).
Угол BKC — вписанный, опирающийся на диаметр, поэтому он равен 90°. Значит, точка H пересечения прямых BK и AD — точка пересечения высот в треугольнике ABC. Продолжение высоты AD до пересечения с окружностью в точке Q – является секущей окружности. Получаем, что MD=QD=64. По теореме о секущих получаем, что
AM·AQ=AK·AC=(80 - 64)·(80 + 64) =2304.
Треугольники AKC и ADC — прямоугольные, угол DAC— общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда:
Ответ: 28,8.