Теория вероятности, комбинаторика. Расчёт через "И" и "ИЛИ".

Ранее мы уже рассматривали 10е задание ОГЭ по данной теме, однако в школьном курсе ей зачастую уделяют не так много внимания. К тому же, в 4 задании ЕГЭ эта тема встречается уже в усложнённом виде.

В этой статье мы расскажем, как избежать ошибок в решении, и как с помощью логики, и операторов "И" и "ИЛИ" можно решить любую задачу на теорию вероятностей.

Комбинаторные конструкции.

• Перестановки: n - элементов, n - клеток. Отличаются друг от друга только порядком следования элементов.
• Размещения: n - элементов, k - клеток. Важен порядок! Отличаются либо составом элементов, либо их порядком.
• Сочетания: n - элементов, k - клеток. Порядок не важен! Отличаются хотя бы одним элементом.
• В основном в школьном курсе алгебры учеников учат решать комбинаторные задачи, используя в том числе и эти формулы. Однако, лично на нашем опыте, запоминать их не совсем простое и приятное занятие, если можно логически сообразить, как обойтись без них.
• Сейчас мы попытаемся показать, как можно решать задачи, не используя эти формулы.

Классическая вероятность.

• Данный блок, как правило, не подразумевает использование каких-либо сложных формул, однако стоит начать с него, чтобы сразу понимать логику рассуждений.

• Можно размышлять двумя способами.
• (Синий) Отправляются двое из пяти, значит вероятность пойти в магазин у туриста Д. 2:5=0,4.
• (Оранжевый) Отправляются два человека. Вероятность что турист Д. будет первым из них 1/5, вторым 1/5. Значит, вероятность, что он будет ИЛИ первым, ИЛИ вторым 1/5+1/5=0,4.
• По идее, разница очень маленькая, но умение анализировать ситуацию так детально и по разному может очень пригодиться в комбинаторике.

Теоремы о вероятностях событий.

• Размышляем так. Возьмём 1, как объём всей закупаемой продукции. "х" обозначим за долю закупаемого у первого хозяйства, тогда "1-х" это доля закупаемого у второго хозяйства.
• Нам известна информация по яйцам высшей категории. Умножаем вероятность попадания яйца высшей категории на фабрике на долю его закупа, (Нужно, чтобы соблюдались два условия: это яйцо высшей категории И это яйцо с этой фабрики). Далее складываем эти вероятности, (Яйцо ИЛИ с первой фабрики ИЛИ со второй). И получаем вероятность попадания яйца высшей категории с общей закупки.
• Далее решаем уравнение и находим "х", как раз то, что мы искали.

Посмотрим, как можно решить задачу, не используя формулу сочетания.

• Для выполнения условия задачи, нужно переложить в другой карман одну пятирублёвую и две десятирублёвые монеты.
• Итак, рассмотрим такой исход событий: То, что перекладывают сначала пятирублёвую монету 2/6 (две пятирублёвые монеты среди 6ти в кармане) затем десятирублёвую 4/5 (по оставшимся) и ещё одну такую 3/4 аналогично. Между вероятностями ставим знак умножения, так как все три пункта выполняются вместе.
• На три мы умножаем, потому что важно помнить, что пятирублёвую монету можно переложить и после одной десятирублёвой, и после двух таких.

• Здесь видим, своего рода, круги Эйлера. Несложно заметить, что вероятность "кофе закончится в обоих автоматах" является пересечением аналогичных вероятностей для каждого из автоматов.
• Значит, если мы захотим взять вероятность "Кофе закончится только в первом автомате", мы запишем: 0,25-0,15=0,1.
• В таблице показаны вероятности для каждого случая. Таким образом, получаем, что кофе останется в обоих автоматах с вероятностью 0,65.

Спасибо за прочтение статьи. Надеемся, она была понятной и полезной:) Если так, можете оценить нас лайком.

Если у вас остались вопросы, вы нашли ошибку, или у вас есть пример задачи, решение к которому вы хотели бы увидеть, напишите в комментарии. Мы постараемся дать подробный ответ.

Задачи взяты с официального сайта для подготовки к ЕГЭ "Сдам ГИА".