В эпизоде, описывающем балет на льду «ВОЛШЕБНЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ И ВЕСЁЛЫЕ ПЕРЕСТАНОВКИ!», мы находим описание сложения четырех чисел, типа 3+1+2+4=10 2+3+4+1=10
Автор подчеркивает, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Но также персонажи книги узнают, что числа можно записать в разном порядке, и число перестановок в данном случае равно 24. То есть, из цифр 1,2,3,4 можно составить 24 разных последовательности без повторений. Это важное наблюдение, которое стоит отдельно обсудить. Речь о количестве перестановок на множестве из n элементов. В данном случае числа играют роль просто различных неодинаковых элементов.
Если взять один элемент (можно использовать любой предмет, например фишку с номером 1), то существует только один единственный способ размещения этого элемента -1. Для двух элементов есть два способа (две перестановки) - 12 и 21. Для трёх элементов есть шесть способов перестановок. Это можно проиллюстрировать так, что номер «три» можно тремя способами совместить с первой перестановкой из двух элементов - 312, 132, 123; аналогично мы имеем три возможности совмещения тройки со второй перестановкой двухэлементного множества - 321, 231, 213. Всего - шесть перестановок.
Если всмотреться, то это количество - шесть перестановок для множества из трёх элементов - получается путем перемножения 1 на 2 на 3.
Рассуждая дальше таким же способом, мы видим, что в полученные шесть перестановок трёхэлементного множества мы сможем вставить четвертый номер двадцатью четырьмя способами. Все равно, что перемножить 1 на 2 на 3 на 4. Нетрудно догадаться, что количество перестановок на множестве из пяти элементов равно 120. Действие перемножения всех натуральных чисел подряд до числа n включительно обозначается n! (читается «n факториал»).
